axiomas

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Teoría de probabilidades
y resolución de problemas

En el Capítulo 2, hemos examinado la interpretación de las probabilidades y algunos métodos
elementales para determinarlas. En este capítulo, continuamos nuestro estudio con la explicación de alguno de los teoremas útiles en la resolución de problemas para casos más complejos
que los expuestos en el Capítulo 2.
3.1.

DIAGRAMAS DE VENNY LOS AXIOMAS DE PROBABILIDAD (OPCIONAL)

Diagramas de Venn
Antes de comenzar a desarrollar las reglas básicas que rigen el comportamiento de las probabilidades, presentaremos un diagrama que resulta útil para organizar las probabilidades. El
diagrama, llamado diagrama de Venn, se denomina así en honor de John Venn (1834-1923).
En este diagrama representamos el conjunto de posibilidades paraun experimento mediante
un rectángulo. A este conjunto le llamamos espacio muestral y lo representamos con la letra
mayúscula S (Fig. 3.1a). Un suceso de interés se representa mediante una curva cerrada
dentro del rectángulo y se indica mediante una letra mayúscula distinta de S. En la Figura 3.1b se ha representado el suceso A. El suceso «que no se produzca A», se indica mediante
Añ y serepresenta en la región del rectángulo que queda fuera de A (Fig. 3.1c). El suceso Añ se
denomina suceso complementario de A. Cuando dos sucesos A1 y A2 están relacionados en el
mismo experimento, dividen el rectángulo en cuatro áreas separadas. Cada área representa
una forma exclusiva de combinar los dos sucesos. Éstas se muestran en la Figura 3.1d a g. En
el ejemplo, ilustraremos esta idea.Ejemplo 3.1.1. Se diseña un estudio para investigar el peso y el hábito de fumar de los
pacientes con hipertensión. Aquí S representa a todos los pacientes con hipertensión. Establezcamos que A1 representa a los pacientes con sobrepeso y A2 a los fumadores. La Figura 3.1d representa a los pacientes con sobrepeso que no fuman; la Figura 3.1e representa a los

101

102

Estadística paraBiología y Ciencias de la Salud
S

S

S

A

(b)

(a)

A

(c)

S
A1

A2

S
A1

(d)

S
A1

A2

(e)

A2
(f)

S
A1

A2

(g)

Figura 3.1. (a) El espacio muestral se representa mediante un rectángulo; (b) el suceso A se representa mediante una curva cerrada dentro del rectángulo; (c) el suceso Añ es el suceso de que A no
ocurra; (d) ocurre A1 pero no A2; (e) ocurreA2 pero no A1; (f ) ocurren tanto A1 como A2; (g) no ocurre
ni A1 ni A2.

que fuman pero que no tienen sobrepeso. La Figura 3.1f muestra a los pacientes con sobrepeso y fumadores, mientras que los que ni fuman ni tienen sobrepeso están representados en la
Figura 3.1g.

La palabra castellana «o» tiene dos significados diferentes. Cuando se utiliza con sentido
de inclusión, significa «lo unoo lo otro» o «quizá ambos»; en el sentido de exclusión significa «o uno u otro» pero no «ambos». En este texto, la palabra «o» se utiliza en sentido de
inclusión, salvo que se especifique lo contrario. Por ejemplo, si decimos que un paciente que
sufre hipertensión tiene sobrepeso o fuma, queremos decir que el paciente presenta, al menos,
una de estas características. Él o ella tiene (1)sobrepeso pero no fuma o (2) fuma pero no
tiene sobrepeso o (3) fuma y tiene sobrepeso. En la Figura 3.2 se muestra el diagrama de
Venn para los sucesos A1 o A2.
Axiomas de probabilidad
Comenzamos considerando tres axiomas de probabilidad. Estos axiomas, que se admiten
como ciertos y que no requieren demostración, son de origen intuitivo. Mucha gente los
aplica de forma bastante natural sin tenerla menor idea de lo que está haciendo.
Antes de establecer los axiomas, desarrollaremos una definición. Considérense los dos
sucesos, A1: el paciente A se recupera de una operación de corazón, y A2: el paciente A fallece
en la mesa de operaciones. Es evidente que estos sucesos no pueden producirse simultáneamente. El hecho de que se produzca uno excluye que sea posible el otro. Cuando esto...