Axiomas

¿Qué es un axioma?
R= Un axioma es una "verdad evidente" sobre la cual descansa el resto del conocimiento o sobre la cual se construyen otros conocimientos. En matemáticas un axioma no esnecesariamente una verdad evidente, sino una expresión lógica utilizada en una deducción para llegar a una conclusión. En matemáticas se distinguen dos tipos de axiomas: axiomas lógicos y axiomas no-lógicosUna teoría de primer orden T es un sistema formal que consta de:
• Un lenguaje de primer orden L(T).
• Un conjunto de axiomas lógicos y un conjunto de axiomas no lógicos
G={A1, A2 , ..., An}.
Si Ges vacío entonces T es la teoría básica.
• Un conjunto de reglas de Inferencia lógicas
• Una definición de prueba de fórmulas de L(T)
• Una definición de teorema de T
1.|- A denota que la fórmulaA es un teorema (validez sintáctica de la
fórmula A, que habrá que demostrar en general).
2. T[A1, . . . , An] denota la teoría de primer orden formada a partir de la
teoría T y con axiomasno lógicos A1, ..., A n (pueden existir otros en T,
pero no se hacen explícitos).
3. T[G] es exactamente T[A1, ..., An] con G={A1, A2
, ..., An}
Axiomas Lógicos
Axioma Proposicional |- ¬A v AAxioma de Sustitución |- Ax[a] -> $x A (a término)
Axioma de Identidad: |- x = x
Axiomas de Igualdad:
|- x1 = y1 ® ( x2 = y2 ® (... (xn = yn®f(x1, ..., xn) = f(y 1, ..., yn) ...)
|- x1 = y1 ® (x2 = y2®(...(x n = yn ® (P(x1, ..., xn) ®P(y1, ..., yn) ...)
(A es un esquema de fórmula con la variable x libre, a es un esquema
de término y P(x 1
, ..., x n
) un esquema de fórmula convariables libres xi)
• Una prueba de una fórmula en una teoría es una secuencia de
fórmulas que son
1. axiomas (lógicos o no lógicos) o
2. conclusión de una regla de inferencia con antecedentefórmulas
anteriores en la secuencia
y tal que la última fórmula en la secuencia es la fórmula que se
prueba.
• Una formula B es teorema de una teoría T[A1, ..., An] si tiene una
prueba en la...