AXIOMAS

AXIOMAS
Un axioma es una proposición que se considera «evidente» y se acepta sin requerir demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo es toda proposición no deducida (de otras), sino que constituye una regla general de pensamiento lógico (por oposición a los postulados).1
En lógica y matemáticas, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración,como punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas «afirmaciones evidentes», porque permiten deducir las demás fórmulas.
En lógica un postulado es una proposición no necesariamente evidente: una fórmula bien formada (planteada) de un lenguaje formal utilizada en unadeducción para llegar a una conclusión.
En matemática se distinguen dostipos de proposiciones: axiomas lógicos y postulados.
EJEMPLO
En cálculo proposicional es común tomar como axiomas lógicos todas las fórmulas siguientes:
1.
2.
3. ,
donde , , y  pueden ser cualquier fórmula en el lenguaje.
Cada uno de estos patrones es un esquema de axiomas, una regla para generar un número infinito de axiomas. Por ejemplo si p, q, y r son variables proposicionales,entonces  y  son instancias del esquema 1 y por lo tanto son axiomas.
Puede probarse que, con solamente estos tres esquemas de axiomas y la regla de inferencia modus ponens, todas las tautologías del cálculo proposicional son demostrables. También se puede probar que ningún par de estos esquemas es suficiente para demostrar todas las tautologías utilizando modus ponens. Este conjunto de esquemasaxiomáticos también se utiliza en el cálculo de predicados, pero son necesarios más axiomas lógicos.
EJEMPLO 2
Sea  un lenguaje de primer orden. Para cada variable  la fórmula  es universalmente válida.
Esto significa que, para cualquier símbolo variable , la fórmula  puede considerarse axioma. Para no incurrir en vaguedad o en una serie infinita de «nociones primitivas», primero se necesita una ideade lo que se desea expresar mediante , o definir un uso puramente formal y sintáctico del símbolo . De hecho sucede esto en Lógica matemática.
Otro ejemplo interesante es el de «instanciación universal» , mediante el cuantificador universal. Para una fórmula  en un lenguaje de primer orden , una variable  y un término sustituible por  en , la fórmula  es válida universalmente.
En términosinformales este ejemplo permite afirmar que si se sabe que cierta propiedad  se cumple para toda  y que si  es un objeto particular en la estructura, se estaría en capacidad de afirmar .
De nuevo se afirma que la fórmula  es válida. Esto es, se debe ser capaz de aportar una prueba de este hecho, o -mejor expresado- una metaprueba. En efecto, estos ejemplos son metateoremas de la teoría de lógicamatemática, ya que la referencia es meramente al concepto demostrativo en sí. Además se puede extender a una generalización existencial utilizando el cuantificador existencial.
Esquema axiomático. Para una fórmula  en un lenguaje de primer orden , una variable  y un término  sustituible por  en , la  es universalmente válida.
POSTULADOS
Un postulado es una proposición no evidente por sí misma, nidemostrada, pero que se acepta ya que no existe otro principio del que pueda ser deducida.1
Lógicamente un postulado es similar a un axioma pero difiere de ellos en que, en un sistema hipotético-deductivo, es toda proposición no deducida de otra, sino que constituye una regla general de pensamiento lógico (en oposición a los postulados).2
También se denomina postulado a los principios sustentadospor una determinada persona, un grupo o una organización.3
Por ejemplo, en filosofía y en psicología los diversos enfoques o escuelas suelen diferenciarse en una serie de proposiciones filosóficas. A éstas se les nombra postulados, como definiciones opcionales que delimitan una concepción de cada disciplina (tipo de método que utiliza, objetivo de estudio, etcétera).
Así, los puntos de...