axiomas

B) AXIOMAS Y TEOREMAS.

Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas que a continuación se enumeran.

1)La probabilidad de que ocurra un evento A cualquierase encuentra entre cero y uno.

0 £ p(A) ³ 1

2)La probabilidad de que ocurra el espacio muestral d debe de ser 1.

p(d) = 1

3)Si A yB son eventos mutuamente excluyentes, entonces la p(AÈB) = p(A) + p(B)

Generalizando:

Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2,A3,.....An, entonces;

p(A1ÈA2È.........ÈAn) = p(A1) + p(A2) + .......+ p(An)

TEOREMAS


TEOREMA 1. Si f es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra f debe ser cero.p(f)=0





DEMOSTRACIÓN:Si sumamos a fun evento A cualquiera, como f y A son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces p(AfÈ)=p(A) +p(f)=p(A). LQQD


TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser,p(Ac)= 1 – p(A)











DEMOSTRACIÓN:
Si el espacio muestral d, se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego d=AÈAc, por tanto p(d)=p(A) + p(Ac) y como en el axioma dos seafirma que p(d)=1, por tanto, p(Ac)= 1 - p(A) .LQQD

TEOREMA 3. Si un evento A Ì B, entonces la p(A) £ p(B).










DEMOSTRACIÓN:
Si separamos el evento B en dos eventos mutuamenteexcluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=AÈ(B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)³0 entonces se cumple que p(A)£p(B). LQQD





TEOREMA 4. La p( A \ B )= p(A) – p(AÇB)DEMOSTRACIÓN: Si A y B son dos eventos cualquiera, entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y AÇB, por tanto, A=(A \ B)È(AÇB), luego...