axiomas

AXIOMAS DE CUERPO. En  admitimos la existencia de dos operaciones internas la suma y el producto, con estas operaciones se van a verificar las siguientes propiedades: Respecto a la suma: 1.Conmutativa: a  b  b  a a,b  . 2. Asociativa: a  b  c  a  b  c, a,b,c   3. Neutro:  0  , tal que a  0  a,a  . 4. Opuesto: Dado a  , a   tal que a  a  0. Respecto alproducto:
5. Conmutativa: a  b  b  a, a,b  . 6. Asociativa: a  bc  a b  c, a,b,c  . 7. Neutro: 1  , tal que a  1  a,a  . 8. Existencia de inverso: dado a  ,con
a  0, a1  tal que a  a1  1. 9. Propiedad distributiva: a b  c  a  b  a  c,a,b,c  
CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE CUERPO.
Proposición: Si a,b,c son números reales , entonces: 1. a  0  0 2. a b  0  a  0 ó b  0 3. Si a  0 y a  b  a  c, entonces b  c
AXIOMAS DE ORDEN.
Vamos a definir una relación de orden en , a partir de los dos siguientes axiomas : En  existe un subconjunto ,llamado de los reales positivos, , que verifica: Axioma1: Para cada a   se cumple una y sólo una de las siguientes condiciones: i a  0 ii a   iii a   Axioma 2: Si a y b   entonces a b   y a  b  
CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE ORDEN. Teorema: Sean a,b,c,d  , se verifica: 1. Si a  b y b  c  a  c. 2. Si a  b  a  c  b  c. 3. Si a  b y c    ac  bc. 4. Si a b y c  0  ac  bc. 5. Si a  b y c  d  a  c  b  d. 6. Si a  0  1 a  0. 7. Si ab  0  i a  0 y b  0 o bien, ii a  0 y b  0.
AXIOMA DEL SUPREMO. Definiciones.
Definición: Sea S unconjunto no vacío de números reales, supongamos que existe un b tal que x  b, x  S,entonces decimos que S está acotado superiormente y que b es una cota superior de S.
Definición: Si b es una cotasuperior y pertenece al conjunto, diremos que b es el máximo de S.
Definición: Diremos que b es el supremo del conjunto S cuando: i b es cota superior. ii b es la menor de las cotas superiores....