Axiomas

Axiomas ....

Para que todos los procedimientos matemáticos usados sean válidos se debe partir de una base que respalde cada procedimiento, cada paso lógico usado, y debe, en consecuencia,demostrarse cada afirmación no trivial. Son estas demostraciones los pilares fundamentales de toda rama de las matemáticas, ya que sin ellos puede ponerse en duda la veracidad de cualquier afirmación.

Lasafirmaciones a las que se hace referencia se llaman axiomas. Serán, por lo tanto, afirmaciones que se aceptan como verdaderas debido a su trivialidad, pudiendo en ocasiones ser demostradas cuando nolo son.

El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: "afirmación no trivial", son los teoremas, que son ya, afirmaciones no tan triviales y muchas veces poco intuitivas. Estasafirmaciones deben ser demostradas usando los axiomas u otros teoremas ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema se llamará corolario.

Hay tres tipos de axiomas:
Los axiomasalgebraicos
Los axiomas de orden
El axioma topológico.
El primero, trata de las propiedades de suma, resta, multiplicación y división; el segundo establece un orden para los elementos de cada conjuntodado; el tercero trata sobre la noción de continuidad.El conjunto que cumple con estas propiedades se llama conjunto de los Números Reales y serán los axiomas de este conjunto, las bases de una rama muyimportante de la matemática: el Análisis matemático.

Se puede observar que, usando el lenguaje lógico matemático, los teoremas que se demuestren, serán válidos si los axiomas son válidos, por loque los teoremas serán del tipo: Si el axioma Fundamental es cierto, entonces la afirmación es cierta.

Axiomas Algebraicos[editar]
Los axiomas algebraicos, pudiéndose escribir como un todo, puedenser subdivididos en dos tipos: los de la adición y de la multiplicación.

1. Axiomas de la adición

A1.1 Para todo x,y\in \mathbb{R}, existe un único elemento, también en \mathbb{R}, denotado...