AXIOMAS

AXIOMAS
Los principios básicos de la matemática fueron llamados axiomas en la modernidad por el filósofo Immanuel Kant, llamándolos juicios sintéticos a priori, porque se descubren intuitivamente antes de la experiencia. Ejemplo de axioma matemático: “dos cantidades que son iguales a una tercera cantidad, resultan a su vez, iguales entre ellas”.
En Geometría, los axiomas son proposiciones quesurgen de relacionar el punto, la recta y el plano (geometría euclidiana). El matemático de origen alemán, David Hilbert (1862-1943) creó un sistema de axiomas, basado en nueve nociones (el punto, la línea, la recta y el plano) y seis relaciones (una de orden, tres de pertenencia

DEFINICION DE TEOREMA
La palabra Teorema proviene del latín theorēma, es una verdad no obvia, pero si demostrable.Los teoremas surgen a raíz de propiedades intuitivas y tiene carácter exclusivamente deductivo, por lo cual se requiere de un tipo de razonamiento lógico (demostración) para ser aceptados con el carácter de verdades absolutas.

Algunos ejemplos de teorema son los siguientes: el cuadrado de la suma de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Si un numero termina en ceroo en cinco es divisible por cinco.
En los postulados (verdad intuitiva con suficiente evidencia para ser aceptada como tal) como el los teoremas existe un condicional (hipótesis) y unaconclusión (tesis) que se considera debe cumplirse en caso que la parte condicional o hipótesis tenga validez. En los teoremas se requiere la demostración, que no es más que una serie de razonamientos concatenadosque se apoyan en postulados o en otros teoremas o leyes ya demostrados.
Es muy importante tener en cuenta lareciprocidad de un teorema. Esto viene a ser otro teorema cuya hipótesis es la tesis del primero (teorema directo) y cuya tesis es la hipótesis del teorema directo. Por ejemplo:
Teorema directo, si un número termina en cero o cinco (hipótesis), será divisible por cinco (tesis).
Teoremareciproco, si un número es divisible por cinco (hipótesis), tiene que terminar en cero o cinco (tesis). Hay que estar muy pendiente porque no casi siempre los teoremas recíprocos son ciertos.
Algunos de los teoremas más famosos de la historia son: el de Pitágoras, Tales, Fermat, Euclides, Bayes, el de limite central, números primos, Morley, entre otros.

SISTEMAS AXIOMATICOS
En lasmatemáticas, un sistema axiomático es cualquier conjunto de axiomas de los que algunos o todos los axiomas se pueden utilizar en combinación para derivar lógicamente teoremas. Una teoría matemática consiste en un sistema axiomático y todos sus teoremas derivados. Un sistema axiomático que está completamente descrito es un tipo especial de sistema formal, por lo general, sin embargo, los esfuerzos hacia laformalización completa trae rendimientos decrecientes en la seguridad, y la falta de legibilidad para los humanos. Una teoría formal normalmente significa un sistema axiomático, por ejemplo, formulado en la teoría de modelos. Una prueba formal es una versión completa de una prueba matemática dentro de un sistema formal.
Propiedades
Un sistema axiomático se dice que es coherente si carece decontradicción, es decir, la capacidad para derivar tanto una declaración y su negación de los axiomas del sistema.
En un sistema axiomático, un axioma se llama independiente si no es un teorema que se puede derivar de otros axiomas en el sistema. Un sistema se llama independiente si cada uno de sus axiomas subyacentes es independiente. Aunque la independencia no es un requisito necesario para unsistema, la consistencia es.
Un sistema axiomático se llama completo si para cada declaración, por sí mismo o su negación es derivable.





Consistencia relativa
Más allá de la coherencia, la consistencia relativa es también la marca de un sistema axiomático que vale la pena. Esto es cuando los términos no definidos de un primer sistema axiomático se proporcionan definiciones de un segundo...