Axiomas

La Axiom´atica de la Teor´ıa de Conjuntos
Carlos Ivorra
(http://www.uv.es/=ivorra)

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Introducci´
on

Durante el siglo XIX se llev´o a cabo un proceso de fundamentaci´on de la matem´atica
en virtud del cual se fueron precisando paulatinamente todos los conceptos b´asicos, desde
el concepto de l´ımite hasta el de n´
umero natural. Finalmente, Frege present´o lo que
deber´ıa haber sido laculminaci´on de este proceso: una teor´ıa axiom´atica de conjuntos,
es decir, un sistema de axiomas a partir de los cuales pod´ıan demostrarse rigurosamente
todos los resultados b´asicos aceptados por los matem´aticos y, a partir de ellos, todos los
teoremas matem´aticos. Desgraciadamente, Bertrand Russell descubri´o que la axiom´atica
de Frege era contradictoria. En efecto, uno de los axiomas b´asicos deFrege afirmaba lo
siguiente:
Para toda propiedad φ(X) definible en la teor´ıa, existe un conjunto Y cuyos
elementos son exactamente los conjuntos X que cumplen φ(X).
En otros t´erminos, Frege postulaba la existencia del conjunto
Y = {X | φ(X)}.
Lo que Russell observ´o fue que esto pod´ıa aplicarse a φ(X) ≡ X ∈
/ X, que era
una propiedad trivialmente definida en la teor´ıa de Frege, de modo quedeb´ıa existir un
conjunto
R = {X | X ∈
/ X},
que claramente nos lleva a la contradicci´on R ∈ R ↔ R ∈
/ R.
A partir de aqu´ı, la minuciosa l´ogica de Frege permit´ıa probar con el mismo rigor que
2+2 = 4 y que 2+2 = 5, por lo que su teor´ıa se volv´ıa inservible. El mismo Russell, junto
con A. N. Whitehead, present´o un tiempo despu´es otra teor´ıa axiom´atica que, al menos en
apariencia, estaba exentade contradicciones, si bien era tan in´
util como la de Frege, esta
vez no por contradictoria sino por complicada. Se trata de los Principia Mathematica.
La primera teor´ıa axiom´atica construida por un matem´atico a gusto de los matem´aticos
fue la de Zermelo. La forma en que Zermelo evit´o la paradoja de Russell fue debilitar el
axioma de formaci´on de conjuntos de Frege, reduci´endolo a:

1Para toda propiedad φ(X) definible en la teor´ıa y todo conjunto U , existe
un conjunto Y cuyos elementos son exactamente los elementos X ∈ U que
cumplen φ(X).
As´ı, lo que Zermelo postulaba era la existencia de
Y = {X ∈ U | φ(X)}.
Ahora bien, este axioma s´olo permite definir conjuntos a partir de otros conjuntos, por
lo que Zermelo tuvo que a˜
nadir otros axiomas que garantizaran la existencia deaquellos
conjuntos necesarios que no pod´ıan obtenerse como subconjuntos de otros conjuntos dados. Enseguida describiremos con detalle la axiom´atica de Zermelo, pero antes daremos
algunas indicaciones sobre la l´ogica matem´atica que subyace a toda teor´ıa de conjuntos
moderna.

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La l´
ogica de la teor´ıa de conjuntos

El punto de partida de la teor´ıa de conjuntos moderna consiste en admitirque no
podemos dar ninguna definici´on operativa de “conjunto”. El paso siguiente es darse
cuenta de que no necesitamos hacerlo. Consideremos el silogismo siguiente:
Toda palabra properisp´
omena es bar´ıtona,
δω
˜ ρoν es una palabra properisp´
omena,
luego δ ω
˜ ρoν es una palabra bar´ıtona.
Si consultamos una gram´atica griega y un diccionario veremos que todas estas palabras son de verdad, pero lomaravilloso del caso es que no necesitamos saber lo que
significan para concluir que el razonamiento es correcto: Si sabemos que toda palabra
properisp´omena (sea esto lo que sea) es bar´ıtona (sea esto lo que sea), as´ı como que
“δ ω
˜ ρoν” (sea lo que sea) es una palabra properisp´omena (sea lo que sea), podemos afirmar sin miedo a equivocarnos que “δ ω
˜ ρoν” (sea lo que sea) es una palabrabar´ıtona (sea
lo que sea).
T´ecnicamente, hacer matem´aticas es esto mismo: hablar con absoluto rigor l´ogico sin
preocuparse del significado de los t´erminos empleados. M´as concretamente, todo teorema
matem´atico podr´ıa formularse as´ı:
Si admitimos que los conjuntos (sean lo que sean), junto con la relaci´
on de
pertenencia (sea esto lo que sea), cumplen unos axiomas dados, entonces tal...