Axiomascampo

N´
umeros reales

1

Composici´
on de los n´
umeros reales

Los n´
umeros reales, denotados por la letra R, se componen a su vez de ciertos conjuntos notables
de n´
umeros, ´estos son:
N´
umeros naturales: Son aquellos que nos sirven para contar y ordenar, este conjunto se
denota con la letra N y se escribe as´ı:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, . . .}
Nota: A veces se considera al 0 en N,aunque ´esto no constituya una regla.
N´
umeros enteros: Se componen de los n´
umeros naturales, sus negativos y el cero. Se
denotan con una Z y se escriben as´ı:
Z = {. . . , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}
N´
umeros racionales: Son aquellos n´
umeros que pueden expresarse de la forma p/q donde
p y q son n´
umeros enteros y q es distinto de cero. Se caracterizan por tener unaexpansi´on
decimal finita o peri´
odica. Este conjunto de n´
umeros se denota con la letra Q y se escriben as´ı:
Q = {p/q : p y q est´an en Z y q = 0}
N´
umeros irracionales: Son los n´
umeros que no pueden ser expresados de la forma p/q, se
caracterizan por tener una expansi´
on decimal infinita y aperi´odica. Usualmente se denotan por
la letra I y no se describen en s´ımbolos.
Observemos que cualquier n´umero natural es un n´
umero entero y cualquier n´
umero entero
es n´
umero racional.
El conjunto de los n´
umeros reales es la uni´on de los n´
umeros racionales con los irracionales.
El siguiente diagrama podr´ıa ser de ayuda para comprender esta uni´on:
Q
Z
N

2

I

Axiomas de los n´
umeros reales

En el conjunto de los n´
umeros reales existen dos operaciones que conocemos como la suma oadici´on y el producto o multiplicaci´
on. Tambi´en, hay once axiomas en cuanto a estas operaciones
de los n´
umeros reales, los cuales se toman como ciertos sin demostraci´on:

1

• Axioma 1: Para cualesquiera dos n´
umeros reales a y b, la suma es tambi´en un n´
umero
real. A esta propiedad se le conoce como cerradura de la adici´
on.
Ejemplo: Tomemos a = 11/2 y b = 8.31. Entonces a+b = 11/2+8.31 =5.5+8.31 = 13.81
y 13.81 est´
a en R.
• Axioma 2: Para cualesquiera tres n´
umeros reales a, b y c, el resultado de sumar a al
n´
umero (b + c) es igual al resultado de sumar (a + b) al n´
umero c.
Es decir, a + (b + c) = (a + b) + c. A esta propiedad se le conoce como asociatividad de la
adici´
on.
Ejemplo: Tomemos a = 5, b = π, c = −4.141
Entonces a + b = 5 + π = 5 + 3.14159 . . . = 8.14159 . . .Por lo que (a + b) + c = 8.14159 . . . + (−4.141) = 4.00059 . . .
Por otro lado, b + c = π + (−4.141) = 3.14159 . . . + (−4.141) = −1.00059 . . .
As´ı, a + (b + c) = 5 + (−1.00059) = 4.00059 . . .
Por lo tanto (a + b) + c = a + (b + c).
• Axioma 3: El orden en que se sumen dos n´
umeros reales cualesquiera, no altera su
resultado. A esta propiedad se le conoce como conmutatividad de la adici´
on.Ejemplo: Tomemos a = 1/2 y b = 2.5. Entonces a + b = 1/2 + 2.5 = 0.5 + 2.5 = 3 y
b + a = 2.5 + 1/2 = 2.5 + 0.5 = 3. Por lo que a + b = b + a.
• Axioma 4: En los n´
umeros reales existe el 0, el cual representa un elemento neutro para
la suma. Es decir, a + 0 = a para cualquier n´
umero real a. A esta propiedad se le conoce
como existencia de un neutro para la adici´
on y el cero es conocido comoneutro aditivo.
Ejemplo: Tomemos a = −15/2, entonces a + 0 = −15/2 + 0 = 7.5 + 0.0 = 7.5 = 15/2 = a.
• Axioma 5: Para cualquier n´
umero real a, existe otro n´
umero real denotado por −a tal
que a + (−a) = 0. A esta propiedad se le conoce como existencia del inverso aditivo.
Ejemplo: Tomemos a = π, entonces −a = −π.
Por lo que a + (−a) = π + (−π) = 3.14159 . . . + (−3.14159 . . .) = 0
• Axioma 6:Para cualesquiera dos n´
umeros reales a y b, el producto de estos n´
umeros es
tambi´en un n´
umero real. A esta propiedad se le conoce como cerradura del producto.
Ejemplo: Tomemos a = 2 y b = 3.1416 (notar que b que no es π).
Entonces a · b = (2) · (3.1416) = 6.2832 que est´a en R.
• Axioma 7: Para cualesquiera tres n´
umeros reales a, b y c, el resultado de multiplicar el
n´
umero a por el...