Axiomatizaciones 1

PEANO, LAWVERE, PEIRCE:
TRES AXIOMATIZACIONES DE
´
LOS NUMEROS
NATURALES

LINA MAR´IA BEDOYA MEJ´IA

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA
FACULTAD DE CIENCIAS
´
IBAGUE
2003

PEANO, LAWVERE, PEIRCE:
TRES AXIOMATIZACIONES DE
´
LOS NUMEROS
NATURALES

LINA MAR´IA BEDOYA MEJ´IA

Trabajo de grado para optar al t´ıtulo de
Profesional en Matem´
atica con ´
enfasis en Estad´ıstica

Director
M. Sc. ARNOLD OOSTRAProfesor del Departamento de Matem´
aticas y Estad´ıstica

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA
FACULTAD DE CIENCIAS
´
IBAGUE
2003

Contenido
Introducci´
on

v

1 La axiomatizaci´
on de Peano

1

1.1

Presentaci´on de los n´
umeros naturales por Peano . . . . . . .

1

1.2

Axiomatizaci´on de los n´
umeros naturales seg´
un Peano . . . . .

5

1.3

Las operaciones y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . .6

2 La axiomatizaci´
on de Lawvere

10

2.1

El ‘objeto n´
umeros naturales’ introducido por Lawvere . . . . 10

2.2

Axiomatizaci´on de los n´
umeros naturales seg´
un Lawvere . . . 13

2.3

Lawvere vs. Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1

De Lawvere a Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.2

De Peano a Lawvere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3La axiomatizaci´
on de Peirce

19

3.1

Acerca de Charles S. Peirce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2

Contenido del art´ıculo On the Logic of Number

3.3

Axiomatizaci´on de los n´
umeros naturales seg´
un Peirce . . . . . 26

3.4

Las operaciones y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Peirce vs. Peano
4.1

. . . . . . . . 23

28

Equivalencia entre lasaxiomatizaciones . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.1

De Peano a Peirce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iii

CONTENIDO
4.1.2

iv
De Peirce a Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2

Comparaci´on conceptual de las axiomatizaciones . . . . . . . . 33

4.3

Contextos categ´oricos para la equivalencia . . . . . . . . . . . 34

5 Traducci´
on de On the Logic of Number

36

Bibliograf´ıa

53Introducci´
on
´
En algunos textos aristot´elicos, como el Organon,
se propone el m´etodo axiom´atico como el m´as adecuado para elevar determinado conjunto de proposiciones al rango de ciencia. En ´este m´etodo se quiere hacer descender todas las
proposiciones de algunas primitivas, llamadas axiomas del sistema deductivo.
Bajo ´esta perspectiva, la primera ciencia es la geometr´ıa, pues susenunciados fueron recopilados y organizados de manera deductiva por Euclides
hacia el a˜
no 300 antes de Cristo, en el texto matem´atico m´as c´elebre de todos los tiempos: Elementos. Aunque en ´este documento se utilizaron algunos
axiomas no formulados y aparecen algunos razonamientos l´ogicamente incorrectos, Elementos abri´o un camino hacia la formalizaci´on de la geometr´ıa.
El trabajo de laaxiomatizaci´on de la geometr´ıa concluye en 1899 cuando
el matem´atico alem´an David Hilbert publica Fundamentos de la Geometr´ıa,
que contiene un sistema completo de axiomas para la geometr´ıa euclidiana.
Pero Hilbert va m´as lejos, empleando su axiomatizaci´on para basar la con´
sistencia de su sistema en la consistencia de la aritm´etica. Esta
es la llamada
“aritmetizaci´on de la geometr´ıa”.
En lamisma ´epoca los trabajos de Weierstrass, basados en los de Cauchy,
hab´ıan logrado la “aritmetizaci´on del an´alisis” en el sentido de que es posible construir el sistema de los n´
umeros reales (espacio natural del c´alculo o
an´alisis) a partir de los n´
umeros naturales.
En el c´ırculo de estudiosos y aficionados a las matem´aticas se acepta
de manera generalizada que el sistema de los n´umeros naturales fu´e axiov

´
INTRODUCCION

vi

matizado en 1889 por el matem´atico italiano Giuseppe Peano en el texto
Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita y, aunque no es un hecho
tan conocido, se acepta que ella se basa en trabajos anteriores de Richard
Dedekind. Lo que se ignora de manera casi universal es que varios a˜
nos antes
el norteamericano Charles S. Peirce public´o un sistema...