AYUDA CALCULO TRIPAS

El espacio vectorial a considerar va a ser

Los elementos de dicho espacio son vectores columna 
 



 

NOTA: Las nociones topológicas siguientes se van a definir en Rn, aunque muchas de ellas no requieren que el conjunto que interviene en las definiciones sea un espacio vectorial.
Producto escalar
En un espacio vectorial real, Rn, se llama producto escalar a una aplicación de RnRn sobre R,que a cada par de vectores x, y de Rn le hace corresponder un número real que se representa por xy.
Las propiedades que tiene un producto escalar son las siguientes:
- Es definido positivo: x x > 0,  x Rn. 
- Bilineal:     ( x+ y) z =  (x z) + (y z),
x ( y+ z) =  (x y)+ (x z), 
 x,y,z Rn,   ,  R.
- Conmutativo: x y = y  x  x,y Rn.
Obviamente, el producto escalar no es unaley de composición interna, pues el resultado del producto escalar de dos vectores no es un vector, sino un escalar. Hay muchas aplicaciones que pueden ser producto escalar, pero el producto escalar con el que se trabajará es el siguiente:

Al espacio vectorial real de dimensión finita, n, en el que esté definido un producto escalar, x y, se le denomina espacio vectorial euclídeo n-dimensional.Norma euclídea
Se llama norma de un vector x Rn a una aplicación de Rn sobre R, de forma que a x se le hace corresponder un escalar que se representa por , norma de x, debiendo cumplir dicha aplicación las siguientes propiedades:

Hay aplicaciones que son norma al cumplir estas propiedades, pero la que se va a utilizar es la norma euclídea definida a partir del producto escalar mencionado antes.La norma euclídea es una aplicación definida de un espacio euclídeo sobre R, de tal forma que a un vector cualquiera de dicho espacio, x Rn, se le hace corresponder un escalar igual a la raíz cuadrada con signo positivo del producto escalar del vector x por sí mismo, es decir 
 



 

Además de cumplir las tres propiedades anteriores, la norma euclídea cumple una cuarta propiedad:

Un espaciovectorial en donde está definida una norma en un espacio vectorial normado.
Distancia (o métrica) euclídea
Se llama métrica o distancia a una aplicación de RnRn sobre R, de forma que al par (x,y) RnRn se le asigna un escalar representado por d(x,y), debiendo cumplir dicha aplicación las siguientes propiedades  x,y Rn:
a) d(x,y) > 0 si x y, d(x,y)=0 si x = y; 
b) d(x,y) = d(y,x); 
c)d(x,z)  d(x,y) + d(y,z).
Para definir la distancia no es necesario Rn, puede sustituirse por un conjunto que puede o no ser espacio vectorial. Al igual que en el caso del producto escalar y de la norma, hay muchas aplicaciones que cumplen esta definición de métrica, aunque para el desarrollo de los siguientes conceptos se emplea la distancia euclídea. Ésta es una aplicación definida de RnRn sobre R que cumplelas propiedades de métrica y que hace corresponder al par de vectores (x,y) RnRn el siguiente escalar:

Ejemplo:
La distancia del punto (1,2,3) al (0,1,0) es 
 



 

Un espacio métrico es un conjunto en el que se ha definido una métrica o distancia. El que se va a emplear es el formado por Rn y la distancia euclídea, representándolo como (Rn,d), aunque de ahora en adelante cuando se hagareferencia a Rn se le estará considerando como un espacio métrico con distancia euclídea.
Bola abierta (entorno abierto)
Se llama bola abierta o entorno abierto de centro a Rn y radio r >0, y se representa por Br(a) ó B(a,r), al conjunto de vectores de Rn cuya distancia al centro de la bola o del entorno, el punto a, sea menor que el radio r. 
 



 

A través del concepto de bola o entorno se añade elconcepto de proximidad y el de límite a la estructura algebraica de un espacio vectorial.
Ejemplos:
En la recta real, en R, una bola abierta es un intervalo abierto: 
 

 


 

En R2 una bola abierta es un círculo sin incluir a la circunferencia que lo limita: 
 



 

En R3 una bola abierta es una esfera excepto la superficie de la misma.
Bola cerrada (entorno cerrado)
Se llama bola...