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Teorema del punto fijo
Rodrigo Vargas
Definici´n 1. Un punto fijo de una aplicaci´n f : M → M es un punto
o
o
x ∈ M tal que f (x) = x.
Definici´n 2. Sean M, N espacios m´tricos. Una aplicaci´n f : M → N es
o
e
o
una contracci´n cuando existe una constante α, con 0 ≤ α < 1, tal que
o
d(f (x), f (y )) ≤ α · d(x, y ),

∀ x, y ∈ M .

Teorema 1 (Punto fijo de Banach). Si M es un espaciom´trico completo,
e
toda contracci´n f : M → M posee un unico punto fijo en M .
o
´

Ejercicios
1. Sea f : R → R definida por
f (x) = x +

1
1 + ex

Demuestre que
|f (x) − f (y )| < |x − y |,

∀ x, y ∈ R,

x=y

y que sin embargo f no posee ning´ n punto fijo.
u
2. Sea (X, d) un espacio m´trico compacto, f : X → X continua tal que
e
d(f (x), f (y )) < d(x, y ),

∀ x, y ∈ X

x=yMuestre que f tiene un unico punto fijo.
´
3. Sea M un espacio m´trico completo, k > 1 f : M → M (no necesariae
mente continua) sobreyectiva tal que
d(f (x), f (y )) ≥ k · d(x, y ),

∀ x, y ∈ M

Pruebe que existe un unico a ∈ M tal que f (a) = a.
´
4. Sean M espacio m´trico completo y f : M → M tal que, para un cierto
e
p
p ∈ N f = f ◦ f ◦ · · · ◦ f (p factores) es una contracci´nen M . Entonces
o
f posee un unico punto fijo a ∈ M .
´
1

5. Sea M un espacio m´trico completo. Para cada α : M → M , sea Γα (M )
e
el conjunto de las contracciones f : M → M tales que d(f, α) < +∞.
Demuestre que la aplicaci´n ϕ : Γα (M ) → M , que asocia a cada cono
tracci´n f su unico punto fijo, es continua. (Estamos tomando en Γα (M )
o
´
la m´trica del supremo.)
e
6. Pruebe quela funci´n f : R → R definida por f (x) = cos(cos x), es una
o
contracci´n, mas g (x) = cos x y h(x) = sin(sin x) no son contracciones.
o
7. Sea cos : [0, π/2] → [0, π/2] y ponga cosm = cos ◦ cos ◦ · · · ◦ cos (m factores). Pruebe que, para todo x ∈ [0, π/2], existe lim cosm (x) = a,
m→∞
donde a es independiente de x.
8. Considere la funci´n Ω : C [0, 1] → C [0, 1] definida por
o
xΩ(φ)(x) =

φ(t)dt .
0

Pruebe que Ω no es contracci´n, pero que Ω2 es contracci´n.
o
o
9. Sea K una funci´n continua sobre el cuadrado unitario 0 ≤ x, y ≤ 1
o
satisfaciendo |K (x.y )| < 1 para todo x, y . Demuestre que existe una
funci´n continua f (x) en [0, 1] tal que se tiene
o
1

2

K (x, y )f (y )dy = ex .

f (x) +
0

10. Sea g una func´ continua real sobre [0, 1]. Pruebe queexiste una funci´n
ıon
o
continua real f en [0, 1] satisfaciendo la ecuaci´n
o
x

f (x) −

2

f (x − t)e−t dt = g (x).

0

11. Demueste que existe una unica funci´n continua f : [0, 1] → R tal que
´
o
1

f (x) = sin x +
0

f (y )
dy.
ex+y+1

12. Sean φ : [a, b] → R, K : [a, b] × [a, b] → R funciones continuas, λ ∈ R.
Muestre que la ecuaci´n
o
x

f (x) = λ

K (x, y)f (y )dy + φ(y )
a

tiene soluci´n unica en C [a, b].
o´
2

13. Sea f : M → M tal que d(f (x), f (y )) ≤ α · d(x, y ), con 0 ≤ α < 1. Dado
d(a, f (a))
cualquier a ∈ M , si r ≥
entonces la bola cerrada B = B [a, r ]
1−α
es invariante por f , esto es, f (B ) ⊂ B . En particular, si M es completo,
el punto fijo de f esta en la bola B .
14. Sea U ⊂ Rn y sea ϕ : U → Rn una contracci´n .Se define f (x) = x + ϕ(x)
o
para x ∈ U .
(a) Probar que f es inyectiva.
(b) Probar que f −1 : f (U ) → U es continua.
(Cat´lica, Magister, 2002)
o
15. Sea S = [a, b] × (−∞, ∞) ⊂ R2 y suponga que la funci´n f : S → R
o
satisface las siguientes condiciones:
(i) f es continua.
(ii) fy existe en S y existen constantes m y M tal que
0 < m ≤ fy (x, y ) ≤ M
para todo (x, y ) ∈ S .Demuestre que existe φ ∈ C [a, b] tal que y = φ(x) es la unica soluci´n de
´
o
la ecuaci´n f (x, y ) = 0.
o
16. Sea S = [x0 − a, x0 + a] × [y0 − b.y0 + b] ⊂ R2 . La funci´n f : S → R es
o
continua y existe una constante A tal que
|f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ A|y1 − y2 | ,

∀ (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ S .

Sea |f (x, y )| ≤ B en S y sea α ∈ [0, a] tal que
α < min

1b
,
AB

Entonces, la...