Ayudant A N 13 EDO 2 Semestre 2014 Gabriela Andrades

Universidad de Tarapacá
Departamento de Matemáticas
Ingeniería Plan Común
Ecuaciones Diferenciales

Diciembre 2014

Profesor: Rigoberto Beltrán
Ayudante: Gabriela Andrades F.

Ayudantía nº 13
1.Determinar la transformada de:
𝐿[3𝑡 − 5𝑠𝑒𝑛(2𝑡)] = 𝐿[3𝑡] − 𝐿[5𝑠𝑒𝑛(2𝑡)]
= 3𝐿[𝑡] − 5𝐿[𝑠𝑒𝑛(2𝑡)]
3
10
= − 2
𝑠 𝑠 +4
2. Resolver utilizando Transformada de Laplace:
𝑑2 𝑥
𝑑𝑥
−
4
+ 4𝑥 = 𝑡 3 𝑒 2𝑡
2
{ 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑥(0) = 𝑥′ (0) = 0
Desarrollo:
Aplicamos la transformada de Laplace a la EDO
𝐿[𝑥 ′′ ] − 4𝐿[𝑥 ′ ] + 4𝐿[𝑥] = 𝐿[𝑡 3 𝑒 2𝑡 ]
(𝑠 2 𝐿[𝑥] − 𝑠𝑥(0) − 𝑥 ′ (0)) − 4(𝑠𝐿[𝑥] − 𝑥(0)) + 4𝐿[𝑥] =
𝑠 2 𝐿[𝑥] − 4𝑠𝐿[𝑥] + 4𝐿[𝑥] =3!
(𝑠 − 2)4

3!
(𝑠 − 2)4

3!
(𝑠 − 2)4
3!
𝐿[𝑥] =
(𝑠 − 2)6

𝐿[𝑥](𝑠 − 2)2 =

Luego aplicamos la Transformada inversa de Laplace:
3!
]
(𝑠 − 2)6
3!
5!
𝑥(𝑡) = 𝐿−1 [
]
(𝑠 − 2)6
5!
1 2𝑡 5
𝑥(𝑡) =
𝑒 𝑡
20
𝑥(𝑡) =𝐿−1 [

∴Solución de la EDO

Gabrielaandrades21@gmail.com

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3. Usando Transformada de Laplace, resuelva el P.V.I.
𝑑2 𝑥
{ 𝑑𝑡 2 − 𝑥 = 𝑓(𝑡)
𝑥(0) = 1, 𝑥 ′ (0) = 1
Si 𝐿[𝑓(𝑡)] =

𝑠−1
𝑠2 −4

Desarrollo:𝐿[𝑥 ′′ ] − 𝐿[𝑥] = 𝐿[𝑓(𝑡)]
(𝑠 2 𝐿[𝑥] − 𝑠𝑥(0) − 𝑥 ′ (0)) − 𝐿[𝑥] =
𝑠 2 𝐿[𝑥] − 𝑠 − 1 − 𝐿[𝑥] =

𝑠−1
𝑠2 − 4

𝑠−1
𝑠2 − 4

𝑠−1
+𝑠+1
𝑠2 − 4
𝑠−1
𝑠+1
𝐿[𝑥] = 2
+ 2
2
(𝑠 − 1)(𝑠 − 4) (𝑠 − 1)
1
1
𝐿[𝑥] =
+
(𝑠 + 1)(𝑠 2 −4) 𝑠 − 1
𝐿[𝑥](𝑠 2 − 1) =

Luego aplicamos la transformada inversa de Laplace:
𝑥(𝑡) = 𝐿−1 [

1
1
] + 𝐿−1 [
]
(𝑠 + 1)(𝑠 2 − 4)
𝑠−1

1

Primero resolvemos 𝐿−1 [(𝑠+1)(𝑠2 −4)] con fracciones parciales:
1𝐴
𝐵
𝐶
=
+
+
(𝑠 + 1)(𝑠 2 − 4) 𝑠 − 2 𝑠 + 2 𝑠 + 1
1 = 𝑠 2 (𝐴 + 𝐵 + 𝐶) + 𝑠(3𝐴 − 𝐵) + 2𝐴 − 2𝐵 − 4𝐶
De donde:
1
12
1
𝐵=
4
1
𝐶=−
3
𝐴=

Volviendo a la solución y reemplazando los valores obtenidos:
1 −1 1
1
1
11
1
𝐿 [
] + 𝐿−1 [
] − 𝐿−1 [
] 𝐿−1 [
]
12
𝑠−2
4
𝑠+2
3
𝑠+1
𝑠−1
1 2𝑡 1 −2𝑡 1 −𝑡
𝑥(𝑡) =
𝑒 + 𝑒
− 𝑒 + 𝑒𝑡
12
4
3
∴Solucion del P.V.I.
𝑥(𝑡) =

Gabrielaandrades21@gmail.com

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4. Resuelva, utilizandoTransformada de Laplace el sistema de EDOs:
𝑑2 𝑥 𝑑2 𝑦
+ 2 = 2𝑡
2
𝑑𝑡
{ 𝑑𝑡
𝑑𝑥 𝑑𝑦
−
= 2𝑒 −𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡
Sujeto a condiciones iniciales 𝑥(0) = 0, 𝑥 ′ (0) = 1, 𝑦(0) = 1, 𝑦 ′ (0) = −1
Desarrollo:...