Ayudantia 7

Universidad de la Frontera
Facultad de Ingenier´ıa y Ciencias
Primer semestre 2015

Departamento de Matem´atica y Estad´ıstica

´
CALCULO
MULTIVARIABLE

Profesores : Abdon
´ Catal´an, Ang´elicaMansilla, Elena Olivos, Luis Sandoval, Ana Cecilia de La Maza
Ayudantes: Marcelo Delgado, Claudio P´erez, Jos´e Pablo Salamanca, Sebasti´an Pino, Nicol´as Hoffmann

Ayudant´ıa n◦ 7
´ volumen ytemperatura de un mol de gas est´an relacionadas por la ecua1. La presion,
´ PV = 8, 31T, donde P se mide en kilopascales, V se mide en litros y T se mide
cion
en grados kelvins. Utilicediferenciales para hallar el cambio aproximado en la pre´ si el volumen aumenta de 12 lts. a 12,3 lts. y la temperatura se reduce de 310◦ K
sion
a 305◦ K.
2. Se introduce agua en un tanque que tiene formade cilindro circular recta a una tasa
4
´ cuando conserva su forma
de πm3 /min. El tanque se ensancha de modo que, aun
5
cil´ındrica, su radio se incrementa a una tasa de 0, 2cm/min. ¿Qu´e tanr´apido sube la
superficie del agua, cuando el radio es de 2m. y el volumen del agua en el tanque es
de 20πm3 ?
´ de la forma z = f ( x + at) + g( x − at) es un solucion
´
3. Pruebe que cualquierfuncion
2
2
∂ z
∂ z
´
= a2 2
de la ecuacion
2
∂t
∂x
4. Demuestre que si z = x n f

y
∂2 z
∂z
∂2 z
+
2y
=
(
n
−
2
)
,
entonces
x
∂y∂x
∂y
x2
∂y2

5. Sea f ( x, y) = x2 − xy + y2 − y. Obtenga lasdirecciones u y los valores de Du f (1, −1)
para los cuales:
a) Du f (1, −1) es el m´as grande
˜
b) Du f (1, −1) es el m´as pequeno
c) Du f (1, −1) = −3
d) Du f (1, −1) = 4
Ayuda: El valor m´aximo deDu f ( a, b) es ||∇ f ( a, b)||. Este valor m´aximo se obtiene
´ de u es ∇ f ( a, b)
cuando la direccion
El valor m´ınimo de Du f ( a, b) es −||∇ f ( a, b)||. Este valor m´ınimo se obtienecuando
´ de u es la opuesta de la direccion
´ de ∇ f ( a, b)
la direccion
´ del plano tangente a la superfcie cos πx − x2 y + e xz + yz = 4
6. Obtenga la ecuacion
en el punto P0 (0, 1, 2)

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