Ayudantia algebra

Algebra
FMM 013 Polinomios Ayudantia 1
1. Determine el grado de los siguientes polinomios en R[x]: a) q(x) = 10 b) p(x) = 3x2 + 5x + 1 c) l(x) = 1 x3 + 1 5 2. Realize las siguientes multiplicaciones de polinomios en R[x]: a) (m4 − 3m2 + 4)(3m2 − 2m + 1) = b) (3an−1 + an − 2an−2 )(an − an−1 + an−2 ) = c) (a2 − 5)(am − 3am−1 + 5am−3 ) = 3. Encuentre a y b tal que los polinomios p(x) y q(x) R[x]sean iguales: a) p(x) = x3 + (a + b)x2 + 7x − 5,q(x) = x3 + 8x2 − (a − 2b)x − 5 b) p(x) = −x4 + (a − b)x3 + 8x2 + x − 1,q(x) = −x4 + 6x3 + (2a − b)x2 + x − 1 4. Encuentre a y b para que p(x) ∈ R[x] verifique las condiciones dadas: a) p(x) = x3 + ax2 + 6x + b,p(0) = 1, p(1) = 5 b) p(x) = x4 − 2x3 − ax2 − b, p(0) = −1, p(1) = 8 5. Realice las siguientes divisiones: a) (x3 − 8x2 + 15x − 8) : (x − 1) b)(28x3 − 41x2 + 63x − 36) : (4x − 3) c) (3x4 − 7x3 + 14x2 + 17x − 7) : (3x2 + 2x − 1) d ) (x15 + y 15 ) : (x3 + y 3 ) 6. Encuentre el valor de k para que: a) x3 − 7x + 5 sea factor de x5 − 2x4 − 4x3 + 19x2 − 31x + 12 + k. b) (2x3 − 5x2 + kx + 8k) sea divisible por x + 2. c) El resto de dividir 2x3 + 2kx2 − 3x + 5 por x + 3 sea igual a 10. 7. Si se divide x2 − 5x + 5 por x − c se obtiene resto -1.Encuentre los posibles valores de c. 8. Factorice en factores lineales el polinomio 4x3 + 4x2 − x − 1 sabiendo que x + 1 es un factor. 9. Encuentre q(x) y r(x) tal que p(x) = q(x)d(x) + r(x), con p(x) = x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 y d(x) = x3 + x2 + x + 1. 10. Encuentre el resto r(x) obtenido al dividir el polinomio p(x) entre x2 −1, sabiendo que p(−1) = 4,p(1) = 0 11. Dado elsiguiente polinomio encuentre los valores, de modo que: a) Encuentre el valor de k tal que p(x) = 4x3 + 3x2 − kx + 6k sea divisible por h(x) = x + 3. b) Encuentre el valor de k, si el polinomio q(x) = kx3 − 4x + 2 es tal que q(1) = −1,determine q(2). c) Encuentre el valor de r, cuando x2 + 2x − 4 se divide por x − r el resto es 31. d ) Hallar a y b para que el polinomio x5 + ax3 + b sea divisible por (x+ 1) y por (x − 1) e) Calcula a y b para que el polinomio p(x) = x3 + ax2 + bx + b sea divisible por (x − 2) y adem´s se cumpla p(1) = 10 a o f ) Hallar a , b y c sabiendo que en la divisi´n (4x2 − 8x + 3) : (2x + 1) se obtiene ax + b de cociente y c de resto g) Calcula a, b y c para que se verifique la igualdad: (x3 −2x+a)·(bx+c) = 3x4 +2x3 −6x2 −x+2 o 12. Usar el ((teorema del resto)) paracalcular el resto de la divisi´n: (x1000000 + 1) : (x + 1)
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13. Hallar un polinomio de 4o grado que tenga como ra´ 1, 2, -1, -2 y como coeficiente principal ıces 3. x4 − 3x3 + 3x2 − x 14. Simplifica 4 2 √ x − 3x + 2x 4 − 6x3 + 13x2 − 12x + 4 15. Calcula: x 16. Resuelva , para la variable x,las siguentes ecuaciones: a) 6x2 − 13x + 6 = 0 b) abx2 + (a2− 2b2 )x = 2ab 2 c) 8x4 + 10x√= 3 √ 5 5 d ) 3 x4 − 5 x2 = 2 17. Factorize los siguientes polinomios: a) x3 − 5x + 4 b) x3 − 3x2 + 2 c) x3 − 4x2 − 27x − 90 d ) x4 − 5x3 − 4x2 + 44x − 48 e) x5 + 17x4 + 2x3 − 58x2 − 99x − 45 a 18. Encuentre el el valor del par´metro k para que en el polinomio x2 − 2(k + 1)x + 2k + 1 a) El producto de sus ra´ sea igual a 3. ıces b) La suma de sus ra´ sea igual a 6.ıces 19. Formar √ ecuaciones que tengan como ra´ las ıces: √ a) 2 + 5 y 2 − 5 b) 5 + 3i y 5 − 3i. 20. Resuelva las siguientes ecuaciones: a) 2x3 − 4x2 − 5x + 10 = 0 b) x5 − x = 0 c) 2x7 + 3x5 − 2x3 = 0 d ) x4 − 6x3 + 9x2 − 4 = 0 21. Dados los siguientes polinomios desconponga en suma de fracciones parciales. 6x + 3 x2 − 9 3x2 + 5x + 18 b) 2 (x − 1)(x + 3) x4 − 3x3 − 19x2 + 4x + 18 c) x2 − 3x − 18 2+ 3x d) 2 x −1 a) x+1 − 4)(x2 + 2) 4(x2 + 1)(x2 + 9) f) ,A1 = 9,A2 = 15,A3 = 0 x(x2 + 4) 3x2 + 5x 8 19 g) , A1 = A2 = A3 = 2 (x − 1)(x + 2) 9 9 2 − 3 e) (x2

22. Descomponga en fracciones parciales. No determine los valores num´ricos de los coeficientes. e a) 3 (2x + 3)(x − 1) 5 b) 2 − 3x − 2 2x x2 + 1 x2 − 1 x4 d) 2 (x + 9)3 c) e) x4 + x3 − x2 − x + 1 x3 − x

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