Ayudantia Semana 4 Mayo 1

Universidad T´ecnica Federico Santa Mar´ıa

MAT-270

Ayudant´ıa Mi´
ercoles 6, Viernes 8 y Lunes 11 de Mayo
M´
etodos de Jacobi, Gauss-Seidel, S.O.R. Aproximaci´
on de autovalores. Interpolante deLagrange.

Problema 1
Considere la siguiente matriz A de un sistema lineal dependiente del par´ametro c real.


c

A=
2
0


2 0
6 4 
4 5

(1)

i) Obtenga la matriz iteraci´on del m´etodo de Jacobi ydetermine todos los valores del par´ametros c para los
cuales el m´etodo converge y para los cuales diverge.
 
1

ii) Para el segundo miembro del sistema b =
1  y para el par´ametro c = −1 hagauna iteraci´on con el
1
m´etodo Gauss-Seidel a partir del punto inicial X = (1, 1, 1).
iii) Verifique que el dominio de los par´ametros c para los cuales A es definida positiva est´a dentro deldominio
de convergencia obtenido en I).

Problema 2
La matriz



0
B =  − 1b
− 1c

− a1
0

0

2
c

0

2
b




;

a, b, c, ∈ ℜ

(2)

es la matriz iteraci´on de un m´etodo iterativo aplicado a un ciertosistema lineal. Utilizando resultados de
Gershgorin determine el rango de las constantes de modo que los autovalores sean menores que 1

Problema 3
Considere la matriz dependiente del par´ametro α ∈ ℜ.

2
A= 1
0
Y el vector:

1
3
α


0
α 
4


10
b =  21 
−14

(3)



i) Determine los valores de α, para que el m´etodo de Jacobi converja.
ii) ¿Para qu´e valores de α es posible, en el m´etodo deS.O.R., calcular el ω ´optimo?

1

(4)

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MAT-270


iii) Para α = −2, calcule el ω ´
optimo y la primera iteraci´on con el m´etodo S.O.R. partiendo de X(0)


2
=  6 .
1

iv) Describa los discos de Gerschgorin de la matriz de iteraci´on de Jacobi.

Problema 4
Considere el sistema lineal A · X = b, donde:

2 1
A= 1 2
3 1


0
1 
2




3,1
b = 3,9 
5,9

(5)

La matriz de iteraci´on del m´etodo S.O.R. tiene los siguientes valores del radio espectral seg´
un sea el valor del
par´ametro de relajamiento:
ω
ρ(ω)

0.7
0.632

0.8
0.597

0.9...