Ayudantia02Apr2010

Ayudantia # 2 - Sistemas y Determinantes
Abril 17, 2010
Profesor: Osvaldo Carvajal
Ayudante: Maximiliano Contreras L. (maximiliano.contreras.l@gmail.com)

Sistemas lineales
Una ecuaci´
on lineal es, en general, de la siguiente forma:
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn = b
Donde los ai son constantes, b es una constante, y los xi son las variables o
inc´
ognitas a despejar.
Un conjunto deecuaciones lineales forman un sistema lineal:
a11 x1 + a12 x12 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ... + a2n xn = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + ... + a3n xn = b3
...
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + ... + amn xn = bm
Si se definen:


a11
 a21
A=
 ...
am1

a12
a22
...
am2


... a1n
... a3n 

... ... 
... amn




x1
 x2 

X=
 ... 
xn




b1
 b2 

B=
 ... 
bm

Podemosescribir el sistema lineal de la forma: AX = B. Esta ser´a la forma
general con la que trabajaremos los sistemas lineales.
Ejercicio 01
Considere el siguiente sistema lineal:
x1 + x2 + 4x3 + 3x4 = 5

(1)

2x1 + 3x2 + x3 − 2x4 = 1

(2)

x1 + 2x2 − 5x3 + 4x4 = 3

(3)

(a) Identifique las matrices A, B y X.
(b) Determine si u = (−8; 6; 1; 1)T es soluci´on del sistema AX = B.
(c) Utilizando elresultado del inciso anterior, determine el sistema del cual
v = (16; −12; −2; −2)T es soluci´on.
1

Soluci´
on 01.a
De las ecuaciones (1), (2) y (3), es evidente que:



x1
1 1 4
3
 x2
A =  2 3 1 −2 
X=
 x3
1 2 −5 4
x4









5
B= 1 
3

Soluci´
on 01.b
Para demostrar que es soluci´on del sistema, mostramos que Au = B.




−8
1 1 4
3
 6 

Au =  2 3 1 −2  
 1 
1 2 −5 4
1



1 · −8 + 1 · 6 + 4 · 1 + 3 · 1
5
Au =  2 · −8 + 3 · 6 + 1 · 1 + −2 · 1  =  1 
1 · −8 + 2 · 6 + −5 · 1 + 4 · 1
3
Por lo tanto u es soluci´
on del sistema AX = B.
Soluci´
on 01.c
Primero debemos notar que v = −2u, es decir que u =
reemplazar en AX = B.
Au = B ⇒ A

−1
2 v

−1
2 v.

Con esto, podemos

= B ⇒ Av = −2B

Luego v es soluci´
on del sistema AX = −2B.
Los sistemas lineales tienen 3posibles tipos de soluci´on, dependiendo si:
1. Son consistentes o inconsistentes.
2. Tienen una o infinitas soluciones.
Para que un sistema lineal sea inconsistente, debe ocurrir que una o m´as de
las ecuaciones que lo componen tengan alguna inconsistencia (ejemplo : 0 =
2, etc.). En este caso el sistema no tendr´a soluciones debido a que no existir´a
ning´
un X capaz de hacer que la inconsistenciase resuelva.
Ahora, si el sistema es consistente (no es inconsistente), ´este puede tener una o
infinitas soluciones. El n´
umero de soluciones depender´a del n´
umero de par´ametros
´
o variables libres que tenga el sistema. Estas
se definen como variables que, sin
importar el valor que tomen, siguen siendo soluci´on del problema.
Para mostrar en que consiste cada uno de los casos, resolvemosejercicios.

2

Ejercicio 02
Considere el siguiente sistema lineal:
2x1 − 3x2 = −8

(4)

3x1 + 4x2 = 5

(5)

(a) Resuelva el sistema para x1 y x2 .
(b) Sea u = (u1 ; u2 )T la soluci´on encontrada en el inciso anterior. Considere
ahora v = (u1 ; 2u2 )T . Es v soluci´on del sistema ? Existe alguna otra soluci´on
adem´
as de u ?
(c) Considere ahora el sistema con ceros del lado derecho de lasecuaciones.
Encuentre la soluci´
on w de este sistema. Es w u
´nico ?
(d) Finalmente considere z = u + w. Es z soluci´on del sistema ? Sigue siendo
u
´nica la soluci´
on? Explique.
Soluci´
on 02.a
De la ecuaci´
on (4):
2x1 = 3x2 − 8 ⇒ x1 =

1
2

(3x2 − 8)

Insertamos este resultado en la ecuaci´on (5):
3
2

(3x2 − 8) + 4x2 = 5 ⇒ x2 = 2 ⇒ x1 = −1

Soluci´
on 02.b
Del inciso anterior, u = (−1; 2)T , luego, v= (−1; 4)T . Para ver si es soluci´on,
calculamos Av:
2
3

−3
4

−1
4

=

2 · −1 + −3 · 4
3 · −1 + 4 · 4

=

−14
13

=

−8
5

Por lo tanto v no es soluci´
on del sistema. La soluci´on encontrada es u
´nica pues
(1) El sistema es consiste y (2) no tiene variables libres.
Soluci´
on 02.c
El sistema con el lado derecho ”cero” (sistema homog´eneo) es el siguiente:
2x1 − 3x2 = 0

(6)

3x1 + 4x2 =...