Ayudantia1

´ lica de Chile
Pontificia Universidad Cato
´ ticas
Facultad de Matema
´ tica
Departamento de Matema
Segundo Semestre de 2012
Geometr´ıa Diferencial - MAT2305-1

Ayudant´ıa 1
Teor´ıa Local de CurvasParametrizadas

Definici´
on 0.1. Una curva diferenciable parametrizada es un mapeo diferenciable (esto es con derivadas
de todos los ´ordenes) α : I → R3 de un intervalo abierto I = (a, b) de larecta real R en R3 .
Si t ∈ (a, b) entonces α(t) = (x(t), y(t), z(t)), la variable t se denomina el par´ametro de α. Al rango
de α, α(I) ⊂ R3 le llamaremos la traza de α.
Definici´
on 0.2. El vectortangente o vector velocidad de una curva diferenciable parametrizada en un
punto t ∈ I es el vector dado por α (t) = (x (t), y (t), z (t)).
Problema 1. Sea α(t) una curva diferenciable parametrizada que nopasa por el origen. Si α(t0 ) es
el punto m´as cercano de la traza de α al origen y α (t0 ) = 0, muestre que el vector posici´on α(t0 ) es
ortogonal a α (t0 ).
Problema 2. Sea α una curvadiferenciable parametrizada tal que α (t) es id´enticamente cero.
¿Qu´e podemos decir de α?
Problema 3. Sea α : I → R3 una curva diferenciable parametrizada y sea v ∈ R3 un vector fijo. Si
α (t) es ortogonal a vpara todo t ∈ I y α(0) tambi´en es ortogonal a v. Pruebe que α(t) es ortogonal
a v para todo t ∈ I.
Definici´
on 0.3. Una curva diferenciable parametrizada α : (a, b) → R3 se denomina regular si α(t) = 0
para todo t ∈ (a, b).
Cuando exista un t ∈ I tal que α (t) = 0 dicho t ser´a llamado punto singular de α.
Definici´
on 0.4. Dado t ∈ I, la longitud de arco de una curva parametrizada regular α :I → R3 , desde
el punto t0 , es por definici´
on
t

||α (t)|| dt.

s(t) =
t0

Problema 4. Un disco circular de radio 1 en el plano xy rueda sin resbalar sobre el eje x. La figura
descrita por unpunto de la circunferencia se denomina cicloide.
a) Obtenga una curva parametrizada α : R → R2 cuya traza sea la cicloide y determine sus puntos
singulares.
b) Calcule la longitud de arco de la cicloide...