Ayudantia7Solucin

Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Departamento de Matemática
Segundo Semestre de 2015

Cálculo I - MAT1506
Ayudantía 7
3 de Septiembre de 2015
1. Determine el valor de a tal que exista F (0) para F definida como sigue:
F (x) =

a sen(ax) + a2 cos x si x ≤ 0
a4 x 2 + x + a + 2
si x > 0

Solución. Cuando nos pidan este tipo de cosas, debemos recordar que unacondición
necesaria (pero nunca suficiente) para que una función sea diferenciable en algún punto,
es que sea continua en ese punto. Por lo tanto, partiremos por probar la continuidad
de F en 0. En primer lugar,
F (0) = a sen(a · 0) + a2 cos 0 = a · 0 + a2 · 1 = a2
Ahora, revisamos los límites laterales, para que coincidan entre ellos y con el valor de
F (0):
l´ım F (x) = l´ım− a sen(ax) + a2 cos x = asen(0) + a2 cos 0 = a2

x→0−

x→0

l´ım F (x) = l´ım+ a4 x2 + x + a + 2 = a4 · 0 + 0 + a + 2 = a + 2

x→0+

x→0

Luego, la primera condición para este problema es que
a2 = a + 2
Ahora, para que sea diferenciable en 0, debemos hacerlo por definición y revisando los
límites laterales:
F (h) − a2
F (0 + h) − F (0)
= l´ım−
l´ım−
h→0
h→0
h
h
a sen(ah) + a2 cos h − a2
= l´ım−
h→0
h
sen(ah)
cos h − 1
+ a2
=l´ım− a
h→0
h
h
sen(ah)
1
− cos h
= l´ım− a2
− a2 h
h→0
ah
h2
1
= a2 · 1 − a2 · 0 ·
2
2
=a
1

Luego, recordando que a2 = a + 2 por la continuidad:
l´ım+

h→0

F (h) − a2
F (0 + h) − F (0)
= l´ım+
h→0
h
h
=0

a4 h2 + h + a + 2 − a2
h→0
h
4 2
a h +h
= l´ım+
h→0
h
4
= l´ım+ a h + 1
= l´ım+

h→0

=1
Con esto tenemos la segunda condición, dada por la igualdad de los límites laterales:
a2 = 1
Luego a =1 o a = −1, pero si
a2 = a + 2
entonces necesariamente a = −1 (es fácil ver que a = 1 no funciona).
2. Si se lanza una pelota en el aire con una velocidad de 40m/s, su altura en metros,
después de t segundos, se expresa por y = 40t − 16t2 . Determine la recta tangente en
t = 2 y explique que significa.
Solución. En este tipo de problemas, debemos recordar que la ecuación una recta que
pasa por elpunto (x0 , y0 ) y que tiene pendiente m es:
y − y0 = m(x − x0 )
En este caso, x0 = 2 e y0 es el valor de y cuando t = 2 y se calcula
y0 = 40 · 2 − 16 · 22 = 16
Luego el punto por el que pasa la recta tangente es (2, 16). Falta determinar la pendiente, que en este caso es la derivada de y en t = 2, por definición
40(2 + h) − 16(2 + h)2 − 40 · 2 + 16 · 22
h→0
h
80 + 40h − 64 − 64h + 16h2 − 16
=l´ım
h→0
h
2
16h − 24h
= l´ım
h→0
h
= l´ım 16h − 24

y (2) = l´ım

h→0

= −24
2

Luego la ecuación de la recta tangente es:
y − 16 = −24(x − 2) ⇔ y = −24x + 64
La recta tangente calculada de esta manera corresponde a la mejor aproximación lineal
que podemos hacer de una función en un punto. Aplicado al problema significa que si yo
quiero saber la altura de la pelota en un tiempo t suficientementecercano a 2, entonces
puedo usar la recta y no la función para calcularlo, de esta forma es mucho más fácil
conocer el valor de la función en un punto, sobre todo si esta es más complicada.
3. Un depósito contiene 5000 L de agua pura. Se bombea salmuera que contiene 30 g de
sal por litro de agua al depósito a una proporción de 25 L/min.
a) Demuestre que la concentración de sal t minutos después (engramos por litro) es
C(t) =

30t
200 + t

Solución. La concentración, intuitivamente debería calcularse como:
cantidad de salmuera
cantidad total
Sabemos que de partida tenemos 5000 L de agua pura. Además, cada minuto que
pasa, el volumen aumenta 25 L.
Por otro lado, el agua que se bombea contiene 30 g de sal por litro y como cada
minuto agregamos 25 L de esta agua, entonces estamos agregando 30 ·25 = 750g
de sal cada minuto. Juntando todo esto tenemos que la concentración (C) en
función del tiempo t en minutos es de
C(t) =

750t
5000 + 25t

Factorizando el denominador por 25 y simplificando llegamos a que:
C(t) =

30t
200 + t

Que es la fórmula que queríamos.
b) Calcule C (t) y explique su significado. ¿La concentración aumenta más rápido al
comienzo o a medida que el tiempo avanza?...