azteca - Gary Jennings

ALGEBRA
Versi´n Preliminar
o
Renato A. Lewin

Indice
CAPITULO 1. Introducci´n a la Teor´ de N´meros
o
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u
1. Los N´meros Naturales y los N´meros Enteros
u
u
2. Divisibilidad
3. Congruencias
4. Clases Residuales

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5
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14
21

CAPITULO 2. Polinomios
1. Polinomios sobre los Racionales y los Enteros
2. Divisibilidad
3. Irreducibilidad sobre los Racionales. El Criterio deEisenstein
4. Teorema de Factorizaci´n Unica
o
5. Irreducibilidad sobre los reales y los complejos

27
27
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32
36
39

CAPITULO 3. Anillos
1. Definiciones y Ejemplos
2. Subanillos e Ideales
3. Homomorfismos e Isomorfismos

43
43
48
55

CAPITULO 4. Cuerpos
1. Definiciones y Ejemplos
2. Cuerpo de Cuocientes
3. Caracter´
ıstica de un Cuerpo
4. Extensiones Simples de Q
5.Obtenci´n de Raices de Polinomios sobre Q
o

61
61
62
65
67
71

CAPITULO 5. Grupos
1. Definiciones y Ejemplos
2. Permutaciones, Isometr´ Simetr´
ıas,
ıas.
3. Subgrupos y el Teorema de Lagrange
4. Grupos C´
ıclicos
5. Subgrupos Normales
6. Homomorfismos

75
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81
98
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Bibliograf´
ıa

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3

CAPITULO 1

Introducci´n a la Teor´ de N´ meros
o
ıa
u
LaTeor´ de N´meros, al menos originalmente, es la rama de la matem´tica
ıa
u
a
que estudia las propiedades de los n´meros naturales 1, 2, 3, . . . . A poco andar uno
u
descubre que este estudio no se confina a dicho conjunto de n´meros, ni siquiera al
u
conjunto de los n´meros enteros . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, . . . , sino que muchas veces
u
se debe recurrir a otros conjuntos de n´meros,algebraicos, reales, complejos, etc.
u
para resolver asuntos relacionados con los numeros naturales (y viceversa).
Algunos problemas cl´sicos de la Teor´ de N´meros como el llamado ultimo
a
ıa
u
´
teorema de Fermat o el de la distribuci´n de los n´meros primos, (ver m´s adelante)
o
u
a
han dado origen a grandes desarrollos de la matem´tica. Por ejemplo, al primero de
a
estos se debe granparte del desarrollo de los cuerpos ciclot´micos, al segundo todo
o
el desarrollo de la funci´n zeta de Riemann. Es as´ que en la Teor´ de N´meros
o
ı
ıa
u
moderna se emplean sofisticadas te´nicas de an´lisis matem´tico y de teor´ de
c
a
a
ıa
probabilidades. Estudiaremos aqu´ tan s´lo los rudimentos de esta disciplina y
ı
o
haremos algunos alcances acerca de su relaci´n con lallamada ´lgebra abstracta.
o
a

1. Los N´ meros Naturales y los N´ meros Enteros
u
u
Comenzaremos nuestro estudio suponiendo que el lector est´ familiarizado con
a
los conjuntos
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, . . . } y
N = {1, 2, 3, . . . },
de los n´meros enteros y de los n´meros naturales (o enteros positivos), respecu
u
tivamente. En particular supondremos conocimiento de lasoperaciones de suma
y multiplicaci´n as´ como de la estructura de orden sobre estos conjuntos, por lo
o
ı
tanto, no daremos una definici´n axiom´tica de ellas.
o
a
La propiedad m´s importante de los n´meros naturales es el siguiente principio:
a
u
5

PRINCIPIO DE BUEN ORDEN
Todo conjunto no vac´ de n´meros naturales tiene un menor
ıo
u
elemento.

Decimos que N es un conjunto BienOrdenado. Intuitivamente, este sencillo
principio nos dice que siempre puedo encontrar el m´s peque˜o n´mero natural
a
n u
tal que ......, donde la l´
ınea de puntos puede ser llenada por cualquier propiedad
(siempre que exista al menos un n´mero natural que verifique dicha propiedad).
u
Como consecuencia de esto, por ejemplo, podemos probar que todo n´mero natural
u
n tiene un (´nico)sucesor, o sea, el n´mero que le sigue en el orden natural. (Esto
u
u
ya lo sabemos: el sucesor de n es n + 1). Para demostrarlo, basta considerar el
conjunto no vac´ de los n´meros naturales estrictamente mayores que n y aplicar
ıo
u
el Principio de Buen Orden. El menor elemento de ese conjunto es el sucesor de n.
Cabe hacer notar que este menor elemento de un conjunto no vac´ A cuya
ıo...