Álgebra De Boole II

CAPITULO 2.

2. ÁLGEBRA DE BOOLE Y COMPUERTAS.

Es un tipo de álgebra que tiene sus fundamentos en la Teoría de Conjuntos, sus
variables solamente pueden tomar dos valores: cero “0” ó uno “1”. En el álgebra de
Boole se define un conjunto B = {0,1} donde cualquier variable x ε B puede valer x=0 ó
x=1. En la teoría de conjuntos, los valores de las variables también adquieren valores
de pertenenciabinaria (pertenece, o no pertenece); y sus postulados, al igual que
cualquier estructura matemática, son las hipótesis de partida, aceptadas como
verdaderas y sus respectivos consecuentes, demostrables a partir de su sistema
axiomático. Los postulados y los teoremas pueden comprobarse sustituyendo las
variables por los dos elementos del conjunto B.
Los postulados, también llamados axiomas, sonrelativos tanto al conjunto de
elementos como a los operadores que se hayan definido en el sistema. Para el caso
concreto del álgebra de Boole se pueden utilizar diferentes conjuntos de postulados. No
obstante, el más utilizado es el propuesto por Huntington en 1904 que se detalla a
continuación.
2.1 Teoremas y leyes del álgebra de Boole.
Primero se establece la relación de igualdad o equivalencia“=” para indicar que
las dos variables x e y, pertenecientes al conjunto B, son iguales; por ejemplo, x = y.

I. Leyes de composición interna.
En B se definen dos leyes de composición interna, “+” (operador “O”, “OR”, o suma
lógica) y “.” (operador “Y”, “AND”, multiplicación o producto lógico); siendo B cerrado
para estas operaciones.
∀ x ∈ B, ⇒ a) x + y ∈ B
b) x ⋅ y ∈ B

ELECTRÓNICA DIGITALCOMBINACIONAL; Teoría, Diseño y Práctica.
Autor: Angel Olivier

Cap. II (Álgebra de Boole y Compuertas)

El punto (.), utilizado como símbolo para denotar el producto, no es indispensable,
aunque no aparezca, se sobreentiende. Por lo tanto, la operación x ⋅ y ∈ B ; se puede
escribir de la forma: x y ∈ B .

II. Elementos neutros.
Existen elementos neutros para ambas leyes de composición interna; las cualesson:
a) Elemento neutro para la suma, ∃ 0 ∈ B / ∀ x ∈ B , x + 0 = 0 + x = x
b) Elemento neutro para la multiplicación, ∃1∈ B / ∀x ∈ B , x ⋅ 1 = 1 ⋅ x = x

III. Conmutatividad de las leyes de composición interna.
La suma y la multiplicación lógica son conmutativa; ∀ x, y ∈ B ;
a) x + y = y + x
b) x y = y x

IV. Distributividad de las leyes de composición interna.
En el álgebra de Boole la suma y lamultiplicación son distributivas recíprocamente.
∀ x, y, z ∈ B ;
a) x + ( y z) = ( x + y )( x + z )
b) x ( y + z ) = x y + x z
En el álgebra de los números reales, no se cumple el caso “a” de la distributividad.

V. Elemento opuesto.
Todo elemento de B tiene su opuesto (o función NOT). A este elemento se le denomina
inverso, opuesto, complemento o negado. Se representa de varias formas, dos deellas
son:

( x , x ' ). La suma y el producto de una variable con su complemento da como

resultado “1” y “0” respectivamente.

∀ x ∈ B , ∃ x ∈ B/

a) x + x = 1
b) x x = 0
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Autor: Angel Olivier

VI.

Cap. II (Álgebra de Boole y Compuertas)

Elementos del conjunto Booleano “B”.

Este postulado es muy obvio, sin embargo, se debereglamentar; el postulado dice:
En B hay al menos dos elementos diferentes. ∃ x, y ∈ B / x ≠ y .

Los

dos

elementos

distintos son “0” y “1”.
Con estos postulados se pueden demostrar las siguientes identidades del
álgebra de Boole descritas en la tabla 2.1. Estas identidades también pueden ser
demostradas mediante la teoría de conjuntos.

0+0=0
0+1=1

Multiplicación
Lógica
0.0=0
0.1=0

1+0=1

1.0=0Suma Lógica

Complemento
0 =1
1= 0
x=x
x=x

1+1=1
1.1=1
x+0=x
x.0=0
x+1=1
x.1=x
x+x=x
x.x=x
x + x =1
x . x =0
Tabla 2.1. Identidades del álgebra de Boole.

Principio de dualidad: En los postulados anteriores se observaron que las dos
proposiciones (a y b) son duales y esto significa que se pueden obtener aplicando este
principio: si en una igualdad se sustituyen “0” por “1”, “+” por “.” y...