Bañuelos_Saucedo
Páginas: 22 (5256 palabras)
Publicado: 17 de enero de 2016
CÁLCULO VECTORIAL
Notas de clase
Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo
TEMA I
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
determinar el valor de la pendiente, esto es:
, o bien que
no exista.
Si se cumple alguna de las condiciones anteriores, entonces
es un punto
crítico, y debe determinarse la naturaleza de dicho punto. La forma más sencilla para
determinar la naturaleza del punto crítico
, la proporciona elcriterio de la segunda
INTRODUCCIÓN
El tema con el que inicia el curso de Cálculo Vectorial, es de gran importancia para el
ingeniero, puesto que en él se estudian los máximos y mínimos de funciones de dos o
más variables, que tienen su aplicación en los problemas de optimación. Así, un
ingeniero puede buscar la combinación de recursos que le produzcan la máxima
ganancia, o el mínimo desperdicio;puede buscar la mínima distancia o el mínimo costo,
en problemas de manufactura podrá interesarse en minimizar los defectos, etc. Ante la
escases de ciertos recursos, es muy importante aprovecharlos de la mejor manera, de ahí
la importancia de este tema.
En el curso de cálculo de una sola variable se estudiaron los máximos y
mínimos para funciones
,
.
derivada, la cual analiza la concavidad de lacurva. Si
un mínimo relativo, si
entonces en
entonces en
existe
existe un máximo relativo, y si
el criterio no proporciona información sobre la naturaleza del punto crítico
, y deben utilizarse otros criterios.
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 1.1
Determinar los máximos y mínimos relativos, si los hay, de la función
Resolución
Supóngase que una función
tiene la siguienterepresentación gráfica:
De la función
se tiene la derivada
De la condición para la obtención de los puntos críticos
Sólo existe una raíz real, por lo que el único punto crítico es
,
.
Del criterio de la segunda derivada se tiene que:
y valuando el punto crítico en la segunda derivada
Por lo que en
entonces en los puntos
y
se tienen un máximo y un mínimo relativo de
siendo los valores máximoy mínimo
y
La condición necesaria para que un punto cualquiera,
dominio de
A.L.B.S.
,
respectivamente.
que pertenece al
sea máximo o mínimo es que la pendiente sea cero o bien, que no se pueda
existe un mínimo relativo, el cual es
.
CÁLCULO VECTORIAL
Tema I
Pág. 2
MÁXIMOS Y
VARIABLES
MÍNIMOS
PARA FUNCIONES
Dada una función de dos variables independientes,
, los puntos críticos deDE
DOS
, escrita de la forma
serán aquellos en los cuales la primera derivada
(direccional) sea cero. Esto es:
Donde
denota la derivada direccional de la función
gradiente de la función, y para el caso de dos variables se tiene que
,
representa el
,
))))))))))))))))))))))))))))))))
y
MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES
Un número
es lo máximo absoluto (o simplementemáximo) de una función
, donde
si para cualquier punto en
local) de
, sobre un conjunto
se tiene que
se encuentra en el punto
hiperesfera alrededor de
tal que
que pertenece a
direccional,
.
Para que la derivada direccional en un punto sea igual a cero en cualquier
dirección, debe cumplirse que el gradiente de la función es igual a cero vector, es decir:
Si
entonces
. Un máximo relativo (omáximo
en
, si existe una
para cualquier punto
en la
hiperesfera. Los mínimos absolutos y los mínimos relativos se definen de forma similar.
A los máximos y mínimos absolutos y relativos de una función se les llama
extremos.
Al igual que para las funciones de una sola variable, antes de obtener los
valores extremos se deben encontrar los puntos críticos de la función. Un punto crítico
es aquel enel cual la primera derivada es igual a cero, pues esto significa que la
pendiente de la recta tangente es igual a cero, pero en el caso de funciones de varias
variables, se estudiaron dos tipos de derivadas: las derivadas parciales y la derivada
direccional. Puesto que las derivadas parciales son un caso particular de la derivada
direccional, no debe ser una sorpresa el hecho de que se utilice...
Notas de clase
Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo
TEMA I
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
determinar el valor de la pendiente, esto es:
, o bien que
no exista.
Si se cumple alguna de las condiciones anteriores, entonces
es un punto
crítico, y debe determinarse la naturaleza de dicho punto. La forma más sencilla para
determinar la naturaleza del punto crítico
, la proporciona elcriterio de la segunda
INTRODUCCIÓN
El tema con el que inicia el curso de Cálculo Vectorial, es de gran importancia para el
ingeniero, puesto que en él se estudian los máximos y mínimos de funciones de dos o
más variables, que tienen su aplicación en los problemas de optimación. Así, un
ingeniero puede buscar la combinación de recursos que le produzcan la máxima
ganancia, o el mínimo desperdicio;puede buscar la mínima distancia o el mínimo costo,
en problemas de manufactura podrá interesarse en minimizar los defectos, etc. Ante la
escases de ciertos recursos, es muy importante aprovecharlos de la mejor manera, de ahí
la importancia de este tema.
En el curso de cálculo de una sola variable se estudiaron los máximos y
mínimos para funciones
,
.
derivada, la cual analiza la concavidad de lacurva. Si
un mínimo relativo, si
entonces en
entonces en
existe
existe un máximo relativo, y si
el criterio no proporciona información sobre la naturaleza del punto crítico
, y deben utilizarse otros criterios.
S)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 1.1
Determinar los máximos y mínimos relativos, si los hay, de la función
Resolución
Supóngase que una función
tiene la siguienterepresentación gráfica:
De la función
se tiene la derivada
De la condición para la obtención de los puntos críticos
Sólo existe una raíz real, por lo que el único punto crítico es
,
.
Del criterio de la segunda derivada se tiene que:
y valuando el punto crítico en la segunda derivada
Por lo que en
entonces en los puntos
y
se tienen un máximo y un mínimo relativo de
siendo los valores máximoy mínimo
y
La condición necesaria para que un punto cualquiera,
dominio de
A.L.B.S.
,
respectivamente.
que pertenece al
sea máximo o mínimo es que la pendiente sea cero o bien, que no se pueda
existe un mínimo relativo, el cual es
.
CÁLCULO VECTORIAL
Tema I
Pág. 2
MÁXIMOS Y
VARIABLES
MÍNIMOS
PARA FUNCIONES
Dada una función de dos variables independientes,
, los puntos críticos deDE
DOS
, escrita de la forma
serán aquellos en los cuales la primera derivada
(direccional) sea cero. Esto es:
Donde
denota la derivada direccional de la función
gradiente de la función, y para el caso de dos variables se tiene que
,
representa el
,
))))))))))))))))))))))))))))))))
y
MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES
Un número
es lo máximo absoluto (o simplementemáximo) de una función
, donde
si para cualquier punto en
local) de
, sobre un conjunto
se tiene que
se encuentra en el punto
hiperesfera alrededor de
tal que
que pertenece a
direccional,
.
Para que la derivada direccional en un punto sea igual a cero en cualquier
dirección, debe cumplirse que el gradiente de la función es igual a cero vector, es decir:
Si
entonces
. Un máximo relativo (omáximo
en
, si existe una
para cualquier punto
en la
hiperesfera. Los mínimos absolutos y los mínimos relativos se definen de forma similar.
A los máximos y mínimos absolutos y relativos de una función se les llama
extremos.
Al igual que para las funciones de una sola variable, antes de obtener los
valores extremos se deben encontrar los puntos críticos de la función. Un punto crítico
es aquel enel cual la primera derivada es igual a cero, pues esto significa que la
pendiente de la recta tangente es igual a cero, pero en el caso de funciones de varias
variables, se estudiaron dos tipos de derivadas: las derivadas parciales y la derivada
direccional. Puesto que las derivadas parciales son un caso particular de la derivada
direccional, no debe ser una sorpresa el hecho de que se utilice...
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