Bachellerato

UPM
Ingeniería Civil

MATEMÁTICAS II
Series innitas. Septiembre, 2012

Criterios de convergencia para series de números positivos.

Criterio de comparación (I) (Gauss)
∞

Sea 0 ≤ an ≤ bn, ∀n ∈ N. Si
∞

divergente, también lo es

∞

bn converge, entonces

n=1

an converge. Si

n=1

∞

an es

n=10

bn .

n=1

Criterio de comparación (II) (Comparación en ellímite)
an
= l, entonces
n→∞ bn

Si an > 0 y bn > 0, ∀n ∈ N, y l´
ım
∞

Si l = 0, las series

n=1
∞

Si l = 0 y

∞

an y

bn tienen el mismo carácter.

n=1

n=1
∞

Si l = 0 y∞

an diverge, entonces

∞

bn converge, entonces

n=1

Si l = ∞ y

∞

∞

an converge.

n=1
∞

bn diverge, entonces

n=1

Si l = ∞ y

bn diverge.

n=1

an diverge.

n=1an converge, entonces

n=1

∞

bn converge.

n=1

Criterio de la raíz de Cauchy-Hadamard
Sea

∞

an tal que l´
ım

n=1

√
n

n→∞

an = l, entonces

Si l < 1, la serieconverge.
Si l > 1, la serie diverge.
Si l = 1, es un caso dudoso.
Criterio del cociente de D'Alembert
an+1
= l, la serie
n→∞ an

Si an > 0, ∀n ∈ N y l´
ım

∞

an
n=1

Converge si l < 1.Diverge si l > 1.
Es un caso dudoso si l = 1.
Criterio de Raabe-Duhamel
Si an > 0, ∀n ∈ N y l´ n 1 −
ım
n→∞

an+1
an

= l, la serie

∞

an
n=1

Converge si l > 1.
Diverge si l < 1.Es un caso dudoso si l = 1.
(c) mmbs

Criterio del logaritmo de Cauchy (log es el logaritmo natural)
1
an
Si an > 0, ∀n ∈ N y l´
ım
= l, la serie
n→∞ log n
log

∞

an
n=1

Convergesi l > 1.
Diverge si l < 1.
Es un caso dudoso si l = 1.
Criterio del producto de Pringsheim
Si an > 0, ∀n ∈ N y l´ np an = l, con p ∈ R, la serie
ım
n→∞

∞

an
n=1

Converge si l es nitoy p > 1.
Diverge si l = 0 y p ≤ 1.
Criterio de condensación
∞

Si {an } es una sucesión de términos positivos decreciente, entonces las series
∞

an y

n=1

2n a2n tienen el mismo...