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Sistema numérico
No debe confundirse con Sistema de numeración.
En aritmética, álgebra y análisis matemático, un sistema numérico es un conjunto provisto de dos operaciones que verifican ciertas condiciones relacionadas con las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva.

Los sistemas numéricos se caracterizan por tener una estructura algebraica (monoide, anillo, cuerpo, álgebra sobreun cuerpo), satisfacer propiedades de orden (orden total, buen orden) y propiedades topológicas y analíticas (densidad, metrizabilidad, completitud) adicionales.

Índice [ocultar]
1 Introducción
2 Ejemplos según estructura algebraica
2.1 Sistemas numéricos con estructura de anillo
2.2 Sistemas numéricos con estructura de cuerpo
2.3 Sistemas numéricos con estructura de álgebra
3Discusión de los ejemplos
3.1 Ejemplos intuitivos
3.2 Los restos de módulo 2
4 Ejemplos según las propiedades de orden
4.1 Sistemas numéricos totalmente ordenados
4.2 Sistemas numéricos bien ordenados
4.3 Sistemas numéricos con orden denso
5 Referencias
5.1 Bibliografía
Introducción[editar]
Convencionalmente diversos conjuntos dotados de "adición" y "multiplicación" se llaman sistemas numéricos.Entre estos conjuntos están los números naturales, los enteros, los racionales, los reales y los complejos, aunque existen otros que generalizan a algunos de los anteriores. Aunque no existe una definición formal de sistema numérico, todos los conjuntos dotados de operaciones binarias que se cuentan convencionalmente entre los sistemas numéricos tienen propiedades comunes.

En todos los sistemasnuméricos convencionales hay definidas dos operaciones binarias asociativas denominadas adición y multiplicación, y además se cumple que la multiplicación es distributiva con respecto a la adición. La adición es siempre conmutativa, aunque en algunos sistemas numéricos la multiplicación no siempre es conmutativa1 ): Para a, b y c elementos cualesquiera de \mathbb S :

Propiedad conmutativa dela adición: a + b = b + a
Propiedad asociativa de la adición: (a + b) + c = a + (b + c)
Propiedad asociativa de la multiplicación: (a • b) • c = a • (b • c)
Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición: a • (b + c) = a • b + a • c
La adición y la multiplicación no necesariamente deben ser las de la aritmética elemental.

Más formalmente un sistema numérico se caracterizan poruna séxtupla \scriptstyle (\mathbb{S},+,\cdot,\mathcal{A},\mathcal{O},\mathcal{T}), donde:

\scriptstyle \mathcal{A} es un conjunto de axiomas que definen las propiedades algebraicas de las operaciones y conjeturan la posible existencia de cierto tipo de elementos (opuestos, inversos, etc.)
\scriptstyle \mathcal{O} es un conjunto de axiomas referidos a la teoría del orden, que dan cuenta deciertas propiedades asociadas a la relaciones existentes ente los elementos.
\scriptstyle \mathcal{T} es un conjunto de axiomas topológicos, que posiblemente incluyen la definición de ciertas funciones (distancia) y propiedades (completitud, densidad, etc.)
Ejemplos según estructura algebraica[editar]
Sistemas numéricos con estructura de anillo[editar]
Los números enteros \mathbb{Z} son uno delos ejemplos más sencillos de anillos.
Los números enteros módulo n (donde n \ne p^q, con p un número entero primo).
Los enteros gaussianos \mathbb{Z}+i\mathbb{Z}
Sistemas numéricos con estructura de cuerpo[editar]
Los números racionales (\mathbb{Q}), mínimo cuerpo que contiene al anillo (\mathbb{Z}).
Los números algebraicos (\mathbb{A}), mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a\mathbb{Q}
Los números reales (\R), mínimo cuerpo completo que contiene a \Q
Los números complejos (\mathbb{C}), mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a \R
Los números enteros módulo p (con p primo, (\mathbb{Z}_p) o aritmética modular de módulo p.
Los números hiperreales ({}^*\R)son una extensión de los números reales (\R).
Los números superreales son una generalización de los...