bachiller academico

PROBLEMAS DE MEZCLAS: APLICACIÓN DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
Las mezclas están formadas por dos o más sustancias puras.
Las mezclas no tienen propiedades específicas bien definidas. Laspropiedades
dependen de su composición, que puede ser variable según la proporción en la
que intervengan los distintos ingredientes de la mezcla.
Un modelo general para solucionar cualquier problema demezclas (salmueras y
otros), es a partir de estas dos fórmulas:

Que surgen de la siguiente explicación:
Se tiene un recipiente cualquiera al cual se le agrega una cantidad llamemos A a
este ingresocon una concentración c1 o inicial. Tendremos una cantidad final
llamemos B a esta salida con una concentración la cual no sabemos pero que
depende del tiempo, es decir c(t). Tenemos que el volumende la solución
dependerá del tiempo V(t), y que el interrogante es la cantidad de s oluto en
cualquier instante de la mezcla, es decir Q(t).
Las variables son:
A=tasa de ingreso
B=tasa de salidaV(t)= volumen
Q(t)= cantidad de soluto
C(t)=Q(t)/V(t)
Entonces la variación del volumen será el ingreso menos la salida:

Este se puede resolver por separación de variables:

Ahora se integranambos lados de la igualdad:

Y así:

Entonces:

En t=0

Ahora se reemplaza el valor de la constante c en la ecuación de V(t):

Ahora la función para la variación de la cantidad de soluto encualquier instante
será la rata de entrada menos la rata de salida:

Donde R1 se define como:

Donde R2 se define como:

Recordemos que c(t) es:

Reemplazamos:

Recordemos que V(t) es:Reemplazamos en R2:

Teniendo R1 y R2 reemplazamos en dQ/dt:

Este es el modelo general de ecuación diferencial para problemas tipo mezclas:

Ejercicio 1:
En un tanque hay 400 litros desalmuera con40 kilogramos de sal. A esta
solución le entra agua pura a una tasa de 12 litros/min y le sale la mezcla a
una tasa de 8 litros/min. Encontrar
la cantidad de soluto en cualquier instante...