Bachiller fisica, estud. ing. civil

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 1.- Hallar la longitud de un grado del paralelo que corresponde a Pekín (116º 30’ E, 40º N). 2.- En la geometría euclídea, los ángulos interiores de un triángulo suman 180º, pero, en la geometría hiperbólica, desarrollada por Lobachevski, la suma de los lados de un triángulo es siempre menor de 180º y en la geometría de Riemann dicha suma es siempre superior a 180º, como enel caso de un triángulo situado sobre una esfera. Obtener el área del triángulo esférico determinado por: La Coruña (4º 43’ O, 43º 22’ N), Barcelona (5º 50’ E, 41º 24’ N) y Las Palmas (11º 44’ O, 28º 9’ N). 3.- En cada uno de los siguientes casos, razonar si puede existir al menos un triángulo esférico con los elementos dados. En caso afirmativo, calcular los elementos restantes: a. Tres lados: a= 60º 00’31’’, b = 137º 20’40’’, c = 116º 00’32’’ b. Tres lados: a = 90º, b = 48º 50’, c = 67º38’, c. Tres ángulos: A = 70º 00’25’’, B = 131º 10’15’’, C = 94º 50’53’’ d. Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos a = 64º 24’03’’, b = 42º 30’10’’, C = 58º 40’52’’ e. Dos ángulos y el lado comprendido entre ellos c = 116º 12’05’’, A = 70º 51’15’’, B = 131º 20’26’’ f. Dos lados y un ángulo nocomprendido entre ellos a = 58 º46’22’’, b = 137 º02’50’’, B = 131º 52’33’’ g. Dos ángulos y un lado no comprendido entre ellos a = 70º, B = 119º, A = 76º 4.- Hallar los lados a y b de un triángulo esférico del que se conoce: A = 90º, B = 47º 54’54’’, a - b = 13º 40’50’’ 5.- Resolver, si es posible, los siguientes triángulos esféricos rectángulos, siendo A=90º: a) a=60º 07’ 13”, C=59º 00’ 12”. b)b=167º 03’ 38”, B=157º 57’ 33”. c) a=112º 42’ 36”, b=76º 44’ 15”. 6.- Dado el triángulo esférico de lados a=80º, b=40º y c=100º, hallar la altura esférica sobre el lado “a” y decir si es interior o exterior al triángulo. 7.- Calcular los arcos de circunferencia máxima correspondientes a:
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

1

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA a) Altura sobre el lado c. b)Mediana sobre el lado c. c) Bisectriz del ángulo C.
B A=84º30' c=104º22'

C b=54º10'

8.- Demostrar que en un triángulo esférico rectángulo se verifica: 1) Un cateto y su ángulo opuesto son ambos agudos o ambos obtusos. 2) Si los catetos son ambos agudos o ambos obtusos, entonces la hipotenusa es aguda; pero si un cateto es agudo y otro es obtuso, entonces la hipotenusa es obtusa. 9.-Demostrar que en un triángulo esférico equilátero se verifica: a) cos A = cos a /(1+cos a) b) sec A - sec a = 1 c) 2 cos (a/2) sen (A/2) =1. 10.- Un avión vuela de Madrid a Tokio a una altitud de 10 000 m siguiendo un círculo máximo de la esfera terrestre. Sabiendo que las coordenadas de Madrid y Tokio son: Madrid: latitud: Norte 40º 24’; longitud: Oeste 3º 41’ Tokio latitud: Norte 35º 40’; longitud: Este139º 45’ y que el radio de la tierra es 6371 km, se pide: a) ¿Qué distancia recorre el avión entre Madrid y Tokio? b) ¿A qué distancia del Polo Norte pasa aproximadamente? c) Se denomina Círculo Polar Ártico a una circunferencia menor sobre la tierra tal que en ella, en el solsticio de verano, el Sol no se pone en todo el día. El Círculo Polar Ártico se encuentra a una latitud Norte 60º 30’.¿Sobrevuela el mencionado avión el Círculo Polar Ártico? 11.- Un avión se dirige de Madrid a Nueva York con una velocidad de 990 km/h. Hallar las coordenadas geográficas del punto donde se encontrará el avión al cabo de 3 horas de vuelo. Coordenadas geográficas de Madrid: 40º 24’ latitud N, 3º 41’ longitud O Coordenadas geográficas de Nueva York: 40º 45’ latitud N, 74º longitud O Utilizar como radio dela esfera sobre la que se mueve el avión: 6371 km
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

2

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 12.- Un barco parte del punto A del paralelo de latitud 48º35' Norte con velocidad de 20 nudos. Al mismo tiempo parte otro barco de un punto de la misma longitud que A, pero sobre el paralelo de latitud 36º52’ Norte y velocidad de 18 nudos. Ambos barcos siguen...