bachiller tecnico en electricidad

PEANO, LAWVERE, PEIRCE:
TRES AXIOMATIZACIONES DE
´
LOS NUMEROS NATURALES

LINA MAR´ BEDOYA MEJ´
IA
IA

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA
FACULTAD DE CIENCIAS
´
IBAGUE
2003

PEANO, LAWVERE, PEIRCE:
TRES AXIOMATIZACIONES DE
´
LOS NUMEROS NATURALES

LINA MAR´ BEDOYA MEJ´
IA
IA

Trabajo de grado para optar al t´
ıtulo de
Profesional en Matem´tica con ´nfasis en Estad´
a
e
ısticaDirector
M. Sc. ARNOLD OOSTRA
Profesor del Departamento de Matem´ticas y Estad´
a
ıstica

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA
FACULTAD DE CIENCIAS
´
IBAGUE
2003

Contenido
Introducci´n
o

v

1 La axiomatizaci´n de Peano
o

1

1.1

Presentaci´n de los n´meros naturales por Peano . . . . . . .
o
u

1

1.2

Axiomatizaci´n de los n´meros naturales seg´n Peano . . . . .
o
u
u5

1.3

Las operaciones y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2 La axiomatizaci´n de Lawvere
o

10

2.1

El ‘objeto n´meros naturales’ introducido por Lawvere . . . . 10
u

2.2

Axiomatizaci´n de los n´meros naturales seg´n Lawvere . . . 13
o
u
u

2.3

Lawvere vs. Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1

De Lawvere a Peano . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.2

De Peano a Lawvere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 La axiomatizaci´n de Peirce
o

19

3.1

Acerca de Charles S. Peirce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2

Contenido del art´
ıculo On the Logic of Number

3.3

Axiomatizaci´n de los n´meros naturales seg´n Peirce . . . . . 26
o
u
u

3.4

Las operacionesy sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Peirce vs. Peano
4.1

. . . . . . . . 23

28

Equivalencia entre las axiomatizaciones . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.1

De Peano a Peirce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iii

CONTENIDO
4.1.2

iv
De Peirce a Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2

Comparaci´n conceptual de lasaxiomatizaciones . . . . . . . . 33
o

4.3

Contextos categ´ricos para la equivalencia . . . . . . . . . . . 34
o

5 Traducci´n de On the Logic of Number
o

36

Bibliograf´
ıa

53

Introducci´n
o
´
En algunos textos aristot´licos, como el Organon, se propone el m´todo axioe
e
m´tico como el m´s adecuado para elevar determinado conjunto de proposia
a
ciones al rango de ciencia. En ´stem´todo se quiere hacer descender todas las
e
e
proposiciones de algunas primitivas, llamadas axiomas del sistema deductivo.
Bajo ´sta perspectiva, la primera ciencia es la geometr´ pues sus enune
ıa,
ciados fueron recopilados y organizados de manera deductiva por Euclides
hacia el a˜o 300 antes de Cristo, en el texto matem´tico m´s c´lebre de ton
a
a e
dos los tiempos: Elementos. Aunque en´ste documento se utilizaron algunos
e
axiomas no formulados y aparecen algunos razonamientos l´gicamente incoo
rrectos, Elementos abri´ un camino hacia la formalizaci´n de la geometr´
o
o
ıa.
El trabajo de la axiomatizaci´n de la geometr´ concluye en 1899 cuando
o
ıa
el matem´tico alem´n David Hilbert publica Fundamentos de la Geometr´
a
a
ıa,
que contiene un sistema completo deaxiomas para la geometr´ euclidiana.
ıa
Pero Hilbert va m´s lejos, empleando su axiomatizaci´n para basar la cona
o
´
sistencia de su sistema en la consistencia de la aritm´tica. Esta es la llamada
e
“aritmetizaci´n de la geometr´
o
ıa”.
En la misma ´poca los trabajos de Weierstrass, basados en los de Cauchy,
e
hab´ logrado la “aritmetizaci´n del an´lisis” en el sentido de que es posiıano
a
ble construir el sistema de los n´meros reales (espacio natural del c´lculo o
u
a
an´lisis) a partir de los n´meros naturales.
a
u
En el c´
ırculo de estudiosos y aficionados a las matem´ticas se acepta
a
de manera generalizada que el sistema de los n´meros naturales fu´ axiou
e
v

´
INTRODUCCION

vi

matizado en 1889 por el matem´tico italiano Giuseppe Peano en el...