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Tabla de centros de gravedad y momentos de inercia de figuras simples



Aunque no es como tal un tema de la Teoría de las estructuras, aprovechamos para incluir aquí un pequeño prontuario con los centros de gravedad y los momentos de inercia de algunas figuras simples: rectángulo, círculo, triángulo, semicírculo, trapecio, curva de segundo grado y curva de tercer grado:El diagrama Parábola-Rectángulo del hormigón



Cuando realizamos cálculos de secciones de hormigón sometidas a solicitaciones normales necesitamos modelizar la respuesta tensional del hormigón. Para ello podemos trabajar con varios diagramas, eligiendo entre los que nos permiten las diferentes normas de hormigón. La mayoría, como es el caso de la instrucción EHE española, contemplan eldiagrama Parábola-Rectángulo y el diagrama simplificado Rectangular. Sin duda, el diagrama que mejor se adapta al comportamiento de dicho material, tal y como se ha demostrado mediante ensayos experimentales es el del Parábola Rectángulo, que supone que las tensiones se pueden describir en función de las deformaciones mediante una función que posee un tramo parabólico y otro "rectangular"(constante).

El cálculo manual con dicha ley de comportamiento (extraer fuerzas y momentos resultantes) es tedioso por lo que se deja su uso a los programas informáticos de cálculo, en los que el trabajo pesado lo realiza el ordenador, o bien se suele remitir al calculista a literatura especializada que tabula los valores de la integral que define la resultante y su momento en función de ciertosparámetros (ver por ejemplo el libro Hormigón Armado de Jiménez Montoya, Garcia Meseguer y Morán Cabré. Ed. Gustavo Gili).

En general, la gran mayoría de nosotros, como alumnos de las asignaturas de estructuras puede que estemos más acostumbrados a tratar con el diagrama rectangular que consiste en una simplificación del Parábola-Rectángulo de manera que mediante un simple rectángulo, (figura con la queestamos muy familiarizados y que posee fácil cálculo de su resultante y por tanto de su momento resultante), consigamos aproximadamente las mismas soluciones.

Incluso si calculábamos estructuras hace no muchos años y tratamos con la antigua norma EH-91, conozcamos el método del momento tope, invención del insigne Eduardo Torroja, que utilizaba un diagrama rectangular algo diferente al de laactual EHE y con el que se resolvían todas las fórmulas de cálculo a solicitaciones normales en aquella norma.

Nosotros aquí simplemente vamos a deducir la función del diagrama de Tensión-Deformación de cálculo de la Parábola-Rectángulo según la instrucción EHE de una forma intuitiva matemática y geométrica. Esta ley nos servirá para posteriormente plantear las ecuaciones de equilibrio en unasección cualquiera.

Para ello partiremos del siguiente gráfico que podéis encontrar en la norma, en su artículo 39.5 y en la fig. 39.5.a, en el que como se puede observar destacan dos puntos importantes:

- El correspondiente a la deformación de rotura del hormigón a compresión (εc=0,002).

- El correspondiente a la deformación de rotura del hormigón a flexión (εc=0,0035).

Como se observa,ambas comparten la misma abcisa, σc=0,85 fcd. El valor corresponde a la resistencia de cálculo del hormigón a compresión (fcd) afectado por un coeficiente que tiene en cuenta los efectos de cansancio del hormigón en la resistencia a compresión (0,85).

Diagrama parábola-rectángulo del hormigón

Para hallar el diagrama definimos como positivas las deformaciones de acortamiento, y las tensionesde compresión, y partimos de la base de que el hormigón no es capaz de soportar tracciones. Queda:



1. Tramo parabólico: la parábola se define en el intervalo de deformaciones [0 , 0,002), mediante la expresión genérica de la cónica parábola:
a*εc2 +b*εc + c

debe cumplirse

- f(0)=0, o lo que es lo mismo, la curva pasa por el origen de coordenadas.

- f(0,002)=0,85 fcd,...