Bachiller

3.11 PROBLEMAS QUE INDUCEN A LA DERIVACIÓN
Movimiento rectilíneo
Considérese una partícula que se desplaza a lo largo de una línea recta. Dicho movimiento
se denomina: movimiento rectilíneo.
Si se escoge un sentido arbitrariamente como positivo, el sentido opuesto se escogerá como
negativo.
Supóngase, que el movimiento de la partícula se produce a lo largo de una recta horizontal,
sudistancia a la derecha es positiva y a la izquierda negativa.
Al seleccionar un punto cualquiera de la recta y denotarlo con 0 (origen) la función
S = f (t ) S en cm. y t: seg., me indica la posición de la partícula en cada instante t.
Así por ejemplo, si S = f (t ) = t 2 + 2t − 3
Entonces, cuando t = 0 , S = −3 , indicando con esto que la partícula se encuentra a 3
unidades a la izquierda delorigen.
En la figura adjunta se ha ilustrado la posición de la partícula para diferentes valores de t.

Velocidad promedia y velocidad instantánea y aceleración
Si se conduce un vehículo de una ciudad A a otra B, separadas entre si 100 Km., en un
tiempo de 2 horas, la velocidad promedio es de 50 Km./h. Esto es, la velocidad promedio
es la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempoempleado.
Pero, durante el viaje, el velocímetro con frecuencia marcó lecturas diferentes de 50 Km./h.
Inicialmente marco 0; a veces subió hasta 60 y al final volvió a marcar 0.
Surge entonces la siguiente pregunta: ¿Qué es lo que en realidad marca el velocímetro?
No marca la velocidad promedia, sino la llamada velocidad instantánea.
Considere un ejemplo mas preciso. Sea P un objeto que cae alvacío. Los experimentos
demuestran que si un objeto, parte del reposo en caída libre, la posición S del objeto,
como función del tiempo viene dada por:

S = 16 t 2

:

S en pies
t en segundos

Asi, en el primer segundo, cae 16 pies.
en el segundo segundo, cae 16(2)2 = 64 pies.
En el intervalo de t =1 seg a

t =2 seg, P cae (64 – 16) pies.

Asi que su velocidad promedio será:
Vprom =
En el intervalo de t =1 seg

a

64 − 16
pies
= 48
2 −1
seg

t =1.5 seg, P cae (16(1.5)2 – 16) pies.

Su velocidad promedio será de:
V prom =

pies
16(1.5) 2 − 16 20
=
= 40
seg
1 .5 − 1
0 .5

En forma similar, en los intervalos de tiempo: de t =1 seg a t =1.1 seg, y de t =1 seg
a t =1.01 seg, P caerá respectivamente: (16(1.1)2 – 16) pies y (16(1.01)2 – 16) pies.
Susvelocidades promedio serán respectivamente:
V prom =

V prom

pies
16(1.1) 2 − 16 3.36
=
= 33.6
seg
1 .1 − 1
0 .1

16(1.01) 2 − 16 0.3216
pies
=
=
= 32.16
1.01 − 1
0.01
seg

Lo que se ha hecho hasta ahora, es calcular la velocidad promedia sobre los intervalos de
tiempo cada vez mas cortos pero próximos a 1 seg. Cuanto mas nos aproximamos a t = 1
seg, mejor será laaproximación a la velocidad (instantánea) en el instante t = 1 seg.
Los números: 48, 40, 33.6, 32.16 de las velocidades promedias, hacen “sospechar” que la
velocidad instantánea es de 32 pies/seg.
El ejemplo anterior nos permite definir de una manera mas precisa los conceptos de
velocidad promedia y de velocidad instantánea.
Supóngase que un objeto P se mueve a lo largo del eje coordenado, de talforma que su
posición S en cada instante t es una función S = f (t).

En el instante t = c, el objeto está en f (c).
En el instante próximo t = c + h, el objeto está en f (c + h) (Ver fig.)
Por lo tanto, la velocidad promedia durante este intervalo es:

V prom =

f (c + h ) − f (c )
h

Se define la velocidad instantánea V en el instante t = c asi:

V = Lim V prom = Lim
h→0

h →0f (c + h ) − f (c )
= f ' (c )
h

Existe una distancia técnica entre las palabras: velocidad y rapidez. La velocidad tiene un
signo asociado a ella, es decir, puede ser positiva o negativa. La rapidez se define como el
valor absoluto de la velocidad.

Así por ejemplo, si un objeto se mueve a lo largo del eje coordenado de modo que su
posición en cualquier instante t, satisface la...