bachiller

MATEMATICAS
2º Bachillerato

Proyecto

MaTEX

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

Integral Definida

CIENCIAS

MaTEX
Integral
Definida

Fco Javier Gonz´lez Ortiz
a

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Inicio Art´
ıculo

c 2004 gonzaleof@unican.es
11 de junio de 2004

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MATEMATICAS
2º Bachillerato

1. Integral Definida
2. Tres teoremasfundamentales
2.1. Teorema de la media integral
2.2. Teorema Fundamental del C´lculo
a
2.3. Regla de Barrow
3. Aplicaci´n. C´lculo de ´reas
o
a
a
3.1. Area del recinto para una funci´n
o
3.2. Para dos funciones positivas sin corte
3.3. Para dos funciones cualesquiera sin corte
3.4. Para dos funciones que se cortan
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests

r=A+lu
A

d
Bs=B+mv

CIENCIAS

MaTEX
Integral
Definida

Tabla de Contenido

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1. Integral Definida
El problema planteado es hallar el ´rea de
a
la regi´n que encierra la curva del gr´fico
o
a
con la recta horizontal.
Una idea sencilla consiste en dividir la regi´n en rect´ngulos verticales y de esta
o
a
forma de ((llenar)) la regi´n con numerosos
o
rect´ngulos.
a
Deesta manera el ´rea de la regi´n se
a
o
puede aproximar, cuanto queramos, mediante la suma de las ´reas de n rect´ngulos,
a
a
tomando todos con la misma base ∆ x.
Teniendo en cuenta que el ´rea de cada
a
rect´ngulo se obtiene multiplicando la base
a
por la altura, tenemos que el ´rea de cada
a
rect´ngulo ser´ la base ∆ x por su altura
a
a
respectiva f (xi ).
A la suma de las´reas de los rect´ngulos
a
a
se les llama sumas de Riemann.

3

MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

CIENCIAS

MaTEX
Integral
Definida

Secci´n 1: Integral Definida
o

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Secci´n 1: Integral Definida
o

4

MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu

A la primera de ellas se le llama suma inferior SInf :
SInf = f (x1 ) ∆x + f (x2 ) ∆x + · ·· + f (xn ) ∆ x

A

d
B
s=B+mv

CIENCIAS

n

f (xi ) ∆x
i=1

=⇒

SInf

´
≤ Area

A la segunda de ellas se le llama suma superior SSup :
SSup = f (x1 ) ∆x + f (x2 ) ∆x + · · · + f (xn ) ∆ x
n

=

f (xi ) ∆x
i=1

´
SSup ≥ Area

=⇒
Se tiene as´ que
ı

MaTEX
Integral
Definida

=

´
SInf ≤ Area ≤ SSup

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Secci´n 1: IntegralDefinida
o

5

A medida que aumentamos el n´mero de rect´ngulos n, (n → ∞) con
u
a
∆x → 0, el ´rea buscada se podr´ hallar con
a
a

MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
A

d

n

lim

∆x→0
n→∞ i=1

El s´
ımbolo

f (xi ) ∆x

(1)

de sumatorio se convirti´ en una “s” estilizada
o

, quedan-

B
s=B+mv

CIENCIAS

MaTEX

do la expresi´n anterior con la notaci´n
o
on
∆x→0
n→∞ i=1

b

f (xi ) ∆x =

Definimos Integral Definida de
f (x) entre a y b, al ´rea de la rea
gi´n limitada por la funci´n f (x)
o
o
entre los puntos a y b y el eje OX.
Dicho ´rea lo representaremos con
a
el s´
ımbolo

f (x) dx

Integral
Definida

lim

a

y = f (x)

y

Area

b

f (x) dx
a
a

b

x

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Secci´n 2: Tresteoremas fundamentales
o

6

MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu

2. Tres teoremas fundamentales

A

2.1. Teorema de la media integral

d

Teorema 2.1. (Teorema de la media integral) Sea f (x) una funci´n continua
o
en el intervalo I = [a, b]. Entonces existe c ∈ (a, b)
b

f (x) dx = (b − a) f (c) c ∈ (a, b)

(2)

B
s=B+mv

CIENCIAS

MaTEX

El t´rmino de la izquierda en(2)
e
representa el ´rea bajo la funci´n
a
o
y el t´rmino de la derecha en (2)
e
representa el ´rea del rect´ngulo de
a
a
base b − a y altura f (c).
El teorema anterior afirma que existe un rect´ngulo de altura f (c)
a
equivalente al ´rea determinado
a
por la funci´n.
o

Integral
Definida

a

a

xmin c

xmax

b

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Secci´n 2: Tres teoremas...