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DESARROLLO

Variable aleatoria.

Es una variable estadística cuyos valores se obtienen de mediciones en algún tipo de experimento aleatorio. Formalmente, una variable aleatoria es una función, que asigna eventos, como por ejemplo: (los posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) a números reales (su suma).
Los valores posibles de una variable aleatoria puedenrepresentar los posibles resultados de un experimento aún no realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor actualmente existente es incierto, por ejemplo: (como resultado de medición incompleta o imprecisa). Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse como una cantidad cuyo valor no es fijo pero puede tomar diferentes valores; una distribución de probabilidad se usa paradescribir la probabilidad de que se den los diferentes valores.
Las variables aleatorias suelen tomar valores reales, pero se pueden considerar valores aleatorios como valores lógicos, funciones... El término elemento aleatorio se utiliza para englobar todo ese tipo de conceptos relacionados. Un concepto relacionado es el de proceso estocástico, un conjunto de variables aleatorias ordenadas(habitualmente por orden o tiempo).

Función distributiva de una variable aleatoria
La función distribución describe el comportamiento probabilístico de una variable aleatoria x asociada a un experimento aleatorio y se representa como:
F(x) ó Fx.

CASO DISCRETO
La variable aleatoria X se dice que es discreta si los números asignados a los
Sucesos elementales de E son puntos aislados. Susposibles valores constituyen un conjunto finito o infinito numerable. Por ejemplo, supongamos el experimento consistente en lanzar tres veces una moneda no trucada ; si consideramos la variable aleatoria X=”número de caras obtenidas en los tres lanzamientos”, los valores que puede tomar esta variable aleatoria son finitos (0,1,2,3).


CASO CONTINUO

La variable aleatoria X será continua si losvalores asignados pueden ser cualesquiera, dentro de ciertos intervalos, es decir, puede tomar cualquier valor de R. Por ejemplos consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el nivel de agua en un embalse y tomamos la variable aleatoria X=”nivel de agua”, esta puede tomar valores entre 0 y más infinito.



Diferencia entre: variable aleatoria continua y discreta.
Una variablediscreta es una variable que solo puede tomar valores dentro de un conjunto numerable, es decir, no acepta cualquier valor sino solo aquellos que pertenecen al conjunto; mientras que Una variable continua puede tomar un valor cualquiera dentro de un rango predeterminado. Y siempre entre dos valores observables va a existir un tercer valor intermedio que también podría tomar la variable continua. Unavariable continua toma valores a lo largo de un continuo, esto es, en todo un intervalo de valores.

Esperanza matemática de una distribución continua y discreta.
Dada una variable aleatoria X que toma valores x1, x2, x3....xn con distribución de probabilidad, se define la esperanza matemática de una variable aleatoria como:



Ejemplo:
Continuando con el ejemplo anterior, cuyadistribución de probabilidad era: (0 caras, 1/8); (1 cara, 3/8); (2 caras, 3/
8); (3caras, 1/8), calcula la esperanza matemática.
El resultado será:



Función generadora del momento
En probabilidad y estadística, la función generadora de momentos o función generatriz de momentos de una variable aleatoria X es

Siempre que esta esperanza exista.
La función generadora de momentos se llama asíporque, si existe en un entorno de t = 0, permite generar los momentos de la distribución de probabilidad:

Si la función generadora de momentos está definida en tal intervalo, entonces determina unívocamente a la distribución de probabilidad.
Un problema clave con las funciones generadoras de momentos es que los momentos y la propia función generadora no siempre existen, porque las integrales...