Bachiller

Operaciones con Vectores
Suma de vectores[editar]
Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.
Método del paralelogramo[editar]


Método del paralelogramo.
Este método permite solamente sumar vectores de dos en dos. Consiste en disponer gráficamente los dosvectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando así un paralelogramo (ver gráfico). El vector resultado de la suma es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.
Método del triángulo o método poligonal[editar]


Método del triángulo.Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro, ordenadamente: el origen de cada uno de los vectores coincidirá con el extremo del siguiente. El vector resultante es aquel cuyo origen coincide con el del primer vector y termina en el extremo del último.
Método analítico para la suma y diferencia de vectores[editar]
Dados dos vectores libres,


El resultado de su suma o desu diferencia se expresa en la forma

y ordenando las componentes,



Con la notación matricial sería

Conocidos los módulos de dos vectores dados,  y , así como el ángulo  que forman entre sí, el módulo de  es:

La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.
Producto de un vector por un escalar[editar]


Producto por un escalar.
El producto deun vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del vector, y cuyo sentido es contrario a este si el escalar es negativo.
Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como indica el escalar.
Sean  un escalar y  un vector, elproducto de  por  se representa  y se realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar; esto es,

Con la notación matricial sería

Producto escalar[editar]
Artículo principal: Producto escalar.
Producto vectorial[editar]
Artículo principal: Producto vectorial.
Derivada ordinaria de un vector[editar]
Dado un vector que es función de una variable independienteCalculamos la derivada ordinaria del vector con respecto de la variable t, calculando la derivada de cada una de sus componentes como si de escalares se tratara:

teniendo en cuenta que los vectores unitarios son constantes en módulo y dirección.
Con notación matricial sería




Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una función vectorial:

Esta función representa unacurva helicoidal alrededor del eje z, de radio unidad, como se ilustra en la figura. Podemos imaginar que esta curva es la trayectoria de una partícula y la función  representa el vector posición en función del tiempo t. Derivando tendremos:

Realizando la derivada:

La derivada del vector posición respecto al tiempo es la velocidad, así que esta segunda función determina el vector velocidad dela partícula en función del tiempo, podemos escribir:

Este vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en el punto ocupado por la partícula en cada instante. El sentido es hacia los valores crecientes de los valores escalares.4 Si derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración.
Derivada covariante de un vector[editar]
Artículo principal: Derivada covariante.
Cuando enlugar de emplear una "base fija" en todo el dominio de un vector se usan "bases móviles" como cuando se emplean coordenadas curvilíneas la variación total de un vector dependiente del tiempo depende no sólo de la variación de componentes como en el caso de la derivada ordinaria sino también de la variación de la orientación de la base. La variación total se llama derivada covariante:

Cuando se...