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Continuidad de una funcion en un punto
En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
La continuidadde funciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.
· Ejemplo. Sea la función f : R ® R / x ® . Determine los valores de a y b para que resulte continua en x = 2 y en x = 5. Para dichos valores grafique la función.
Para que la función resulte continua en x = 2 debe verificarse que:
Þ 22 +a = 2 + 2b Þ a - 2b = -2
También en x = 5 debe verificarse que:
Þ 5 + 2b = 16 + 10a Þ - 10a + 2b = 11
Ambas igualdades se deben verificar simultáneamente, es decir: .
Resolviendo el sistema se obtiene a = -1 y b = .
Para dichos valores, la función resulta f : R ® R / x ®
Su gráfica es:

Teorema. Si f y g son funciones continuas en x = a entonces las siguientes funciones también resultancontinuas en a:
· la suma f + g,
· la diferencia f - g,
· el producto c.f, donde c es una constante,
· el producto f.g,
· el cociente siempre que g(a) ¹ 0.
Teorema. Toda función polinomial pn(x) = es una función continua en todo su dominio, es decir en todo número real.
Teorema. Toda función racional fraccionaria o cociente de polinomios es continua, excepto en los puntos que anulanel denominador, es decir, si f(x) = entonces f es continua para todo valor de x, excepto en los que qm(x) = 0. Por lo tanto toda función racional es continua en todo su dominio.
· Ejemplo. La función p(x) = es continua para todos los números reales excepto el cero, es decir, en el conjunto R - {0} .

· Ejemplo. Determine la continuidad de las siguientes funciones:
a)
b)
c)
a) Lafunción m(x) es continua para todo número real pues es una función polinomial.
b) La función t(x) es una función racional, por lo tanto, es continua en todo número real excepto en aquellos donde se anule el denominador. En este caso (x+3) se anula en x = - 3. Luego, t(x) es continua en R - { -3} .
c) La función g(x) es el producto de dos funciones continuas para todo número real, y = x e y = senx. Porlo tanto, la función g(x) es continua para todo número real.
Teorema. Si la función f es continua en x = a y la función g es continua en f(a), entonces la función compuesta gof es continua en a.
· Ejemplo. Analice la continuidad de la función y = .
La expresión y = resulta de la composición de las funciones f(x) = 5x y g(x) = 3x2 - 1.
(fog)(x) = f[g(x)] = f(3x2 - 1) =
Las funciones f(x) yg(x) son funciones continuas en todos los números reales.
Por lo tanto, y = es continua para todo número real.
· Ejemplo. Analice la continuidad de la función y = ln(2x - 3).
La función y = ln(2x- 3) resulta de la composición de las funciones f(x) = lnx que es continua en todos los números reales positivos y g(x) = 2x - 3 que es continua en todos los números reales.
La composición (fog)(x) =f[g(x)] = f(2x - 3) = ln (2x - 3) resulta continua para todos los valores reales tales que 2x - 3 > 0, es continua en A = .

Tipos de discontinuidad de funciones




Discontinuidad evitable
Una función presenta discontinuidad evitable en un punto a, si tiene límite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto o no existe, veamos estos dos casos.
Si el limite cuando xtiende a a, es c, y el valor de la función evaluada en a es d, la función es discontinua en a.

Si la función tiene por limite cuando tiende a a, pero no existe en ese punto, la función es discontinua en a.

Sabiendo que una función es continua en un punto, cuando tiene limite en ese punto, y el valor del limite es el mismo que el valor de la función en ese punto, las dos discontinuidades...