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Tipos de funciones
Dependiendo de ciertas características que tome la expresión algebraica o notación de la función f en x, tendremos distintos tipos de funciones:

Función constante
Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante.
Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales yel recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.


 
Función lineal
Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.
Ejemplo:
f(x) = 2x − 1  es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, −1). Su gráfica es una recta ascendente.

f(x) = 2x − 1  
 
En general, una función lineal es de la forma 

f(x) = ax + b, donde a y b son constantes (la a es lo mismo que la m anterior (corresponde a la pendiente).
 
Ver: PSU: Matemáticas, Pregunta 27_2010
Para trazar la gráfica de una función lineal solo es necesarioconocer dos de sus puntos.
La ecuación matemática que representa a esta función, como ya vimos, es f(x) = ax + b, donde f(x) corresponde al valor de y, entonces
y = ax + b
Donde “a” es la pendiente de la recta, y “b” es la ordenada al origen.
La pendiente indica la inclinación de la recta, cuanto sube o baja y cuanto avanza o retrocede. Esto depende del signo que tenga.

El valor de “a”siempre es una fracción (si no tiene nada abajo, es porque tiene un 1), donde el numerador (p) me indica cuanto sube o baja, y el denominador (q) indica cuanto avanzo o retrocedo.
Aprendido esto, y según el signo de la fracción, la pendiente se marca de la siguiente forma

La ordenada al origen (b) es el valor donde la recta corta al eje y.
La recta siempre va a pasar por el punto (0; b)Representación gráfica de una función lineal o función afín
Para graficar una recta, alcanza con los datos que da la ecuación matemática de la función, y se opera de la siguiente manera:
1. Se marca sobre el eje y la ordenada al origen, el punto por donde la recta va a cortar dicho eje.
2. Desde ese punto, subo o bajo según sea el valor de “p” y avanzo o retrocedo según indique el valor de “q”. Enese nuevo lugar, marco el segundo punto de la recta.
3. Se podría seguir marcando puntos con la misma pendiente, pero con 2 de ellos ya es suficiente como para poder graficar la recta.
4. Teniendo ya los dos puntos, con regla se traza la recta que pasa por los mismos.
Ejemplo:
Graficar la siguiente función:


La ordenada al origen (3) me indica que me debo parar sobre el eje y en el 3.De ahí subo 1 y avanzo 2, como me lo indica la pendiente.

 
También podemos graficar una función dando valores a x y obteniendo dos puntos en las coordenadas.
Ejemplo
Graficar  la función dada por  f(x) = 2x – 1
Solución
Como la función es lineal se buscan dos puntos de la recta; para ello, se le dan valores a  x  y se encuentran sus imágenes respectivas, esto es:                          Si  x = 0, se tiene que  f(0) = 2(0) – 1 = − 1
                          Si  x = 2, se tiene que f(2) = 2(2) – 1 = 3
Así, los puntos obtenidos  son (0, −1) y (2, 3), por los cuales se traza la gráfica  correspondiente.

 
Veamos ahora el proceso inverso; o sea, si tenemos la gráfica de una función queremos encontrar su expresión analítica o matemática.
Para eso, necesitamos encontrar una expresión de laforma  f(x) = ax + b a partir de la gráfica.
Por ejemplo, a partir de la siguiente gráfica, vamos a calcular su expresión matemática.


                                                                                                       
La imagen de 0 es b porque f(0) = a(0) + b = b  luego b = –3
Tomamos otro punto, por ejemplo, el (2, 1);  el 1 es la imagen del 2...