Bachiller
10. Optimización no lineal sin restricciones
Conceptos básicos Optimización sin restricciones en dimensión 1 Métodos numéricos para dimensión 1Optimización sin restricciones en dimensión > 1 Métodos numéricos para dimensión > 1
Conceptos básicos
Problema general de programación no lineal (PNL): maximizar o minimizar z=f(x1,x2,...,xn)(objetivo) S.A.
g1(x1,x2,...,xn) ≤ /= / ≥ b1 g2(x1,x2,...,xn) ≤ /= / ≥ b2 ... (restricciones) gm(x1,x2,...,xn) ≤ /= / ≥ bm Problema de programación no lineal no restringido: PNL sin restricciones Regiónfactible: conjunto de puntos que satisfacen las restricciones. Solución óptima de un PNL tipo minimizar: punto de la región factible x* que satisface f(x) ≥f(x*) para todo x de la región factible.Carmen M. García López
10. Optimización no lineal sin restricciones
Extremos locales
Para un PNL, un punto factible x= (x1,x2,...,xn) es un máximo (mínimo) local si para un ε suficientementepequeño, cualquier punto factible x’= (x1’,x2’,...,xn’) verificando |xi-xi’| ) cf(x’)+(1-c)f(x’’) para 0 < c < 1. Teorema 1
Se considera un PNL con región factible S convexa. Entonces si el problema es demaximixación (minimización) y la función f es estrictamente cóncava (convexa) en S, entonces cualquier máximo (mínimo) local del PNL es una solución óptima de este problema.
Carmen M. García López10. Optimización no lineal sin restricciones
Funciones cóncavas y convexas(II)
Teorema 2
Si f’’(x) existe para cualquier x en un conjunto convexo S, entonces f(x) es una función convexa(cóncava) en S si y sólo si f’’(x) ≥ (≤) 0 para todo x de S
Teorema 3
Si f (x1,x2,...,xn) tiene derivadas parciales de segundo orden continuas para cada punto x= (x1,x2,...,xn) de un conjunto convexo S,entonces f(x) es una función estrictamente convexa (cóncava) en S si y sólo si su matriz Hessiana es definida positiva (negativa)
Funciones cóncavas y convexas (III)
a11 a21 A = a31 ...
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