bachiller

Grupo Matagalpino de matematica
Los Karamazov

Álgebra

Elaborado Por: Camacho.

1. Si los coe…cientes del polinomio a5 x5 + a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 cumplen la
relación de recurrencia a1 = 1; ak+1 = 3ak + 1; para k 1 entonces a5 es
igual a:
Solución
Usando el algorítmo ak+1 = 3ak + 1 tenemos que el número siguiente se
obtiene multiplicando el anterior por tres y agregándole uno,así los coe…cientes
serían:
a1
a2
a3
a4
a5

=
=
=
=
=

1
3 (1) + 1 = 4
3 (4) + 1 = 13
3 (13) + 1 = 40
3 (40) + 1 = 121

3

2. La expresión algebraica (x + y)

3x2 y

3xy 2 es igual a:

Solución
Recordemos de los productos notables que
3

(x + y) = x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3
entonces podemos escribir
3

(x + y)

3x2 y

3xy 2

=

x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3

=x3 + y 3 + 3x2 y

= x3 + y 3 + 0 + 0
= x3 + y 3

1

3x2 y

3xy 2

3x2 y + 3xy 2

3xy 2

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3. Si x4

y 4 = z 3 y x2 + y 2 = 8; entonces

z3
8

es igual a:

Elaborado Por: Camacho.
Solución
Recordemos la diferencia de cuadrados
x2

y 2 = (x + y) (x

y)

aplicando esto a la primera igualda tenemos
x4

y 4 = x2 + y2

x2

y2 = z3

sustituyendo en esta última igualdad x2 + y 2 = 8
x2 + y 2

x2

y2

= z3

(8) x2

y2

= z3

aplicando nuevamente diferencia de cuadrados
(8) x2

y2

(8) (x + y) (x
(x + y) (x

= z3

y) = z 3
z3
y) =
8

despejando y reordenando nos resulta que
z3
= (x + y) (x
8

4. Si x < 2; entonces jx

2j + jx

y)

3j es igua a:

Solución
Si x < 2entonces x puede tomar cualquier valor del siguiente conjunto de
número reales
f1; 0; 1; 2; 3; :::g

2

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en todo caso ocurre que (x 2) < 0; es decir el resultado es un número
negativo, luego su valor absoluto será

Elaborado Por: Camacho.

jx

2j =

(x

2) = 2

x

Analogamente ocurre para x 3; si se resta cualquier número delos que
puede tomar x con tres, entonces (x 3) < 0 luego su valor absoluto
jx

3j =

(x

3) = 3

x

Y …nalmente la suma será
jx

2j + jx

3j = (2 x) + (3
= 5 2x
=
2x + 5

x)

5. Para que la suma de dos polinomios de grado 2 sea un polinomio de grado 1
se debe cumplir:
Solución
Sean los polinomio de grado 2
a1 x2 + a2 x + c
b1 x2 + b2 x + c0
Consideremos que su suma esigual a un polinomio de grado 1, esto es
a1 x2 + a2 x + c1 + b1 x2 + b2 x + c2 = kx + c3
entonces debe ocurrir que
a1 x2 + b1 x2
(a2 x + b2 x)
(c1 + c2 )

= 0
= kx
= c3

Es decir, que los terminos de x2 deben eliminarce
a1 x2 + b1 x2
a1 x2
a1

=
=
=

0
b1 x2
b1

luego, los coe…cientes principales (los de x2 ) deben ser opuesto.

3

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6. Dado el polinomio lineal f (x) = x
f x + 3 es igual a:
4

1
2;

la suma f (x) + f x +

1
4

+f x+

2
4

+

Elaborado Por: Camacho.
Solución

1
2

f (x) = x
f
f
f

1
4
2
x+
4
3
x+
4
x+

=
=
=

1
4
2
x+
4
3
x+
4
x+

1
1
=x
2
4
1
=x+0
2
1
1
=x+
2
4

Luego la suma buscada es
x

1
+x
2

1
1
+ x + 0 + x + = 4x
44

1
2

7. Si multiplicamos n2 + 1 veces el número real a, el reultado …nal es:
Solución
La de…nición de potencia nos dice que
n veces

z
}|
a a a a a

{
a = an

Si aplicamos esto a nuestro caso tenemos
n2 +1 veces

z
}|
a a a a a
8. El polinomio p (x) = x3
por.

x2 + x

{
2
a = an +1

1 se anula en 1, luego p (x) es divisible

Solución
4

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Teorema del factor: Un polinomio f (x) tiene un factor x
f (c) = 0

c si y sólo si

Aplicando el teorema del factor al caso que nos ocupa tenemos que
p (1) = 13 12 + 1 1
= 1 1+1 1
= 0

Elaborado Por: Camacho.

entonces p (1) = 0; según el teorema el polinomio tiene un factor (es divisible
por) x 1: (sug. haga la división)
9. Las primeras 17 letras...