bachiller


ANTECEDENTES
Son las integrales de la forma R(x,y)dx, donde R es una función racional e y= (ax2+bx+c)1/2 existen dos métodos. Estudiaremos los cambios de las variables de Euler y permitir cambiartoda la integración racional a irracional

Objetivo general
Identificar el proceso que se debe tomar según lo que este en la raiz.

Objetivo especifico
Cambiar toda la integración irracional aracional.
Resolver la nueva integral


















I. CUERPO DEL TRABAJO
Integraciones irracionales.
La idea de los cambios de Euler es de tipo geométrico: la expresión y2 =ax2 + bx + c puede interpretarse como la ecuación de una cónica en el plano x − y. Si (x0; y0) es un punto de dicha cónica, entonces el cambio de variables: y − y0 = t(x − x0), convierte la integralen una de tipo racional y, en consecuencia, se resuelve según el apartado 3. Según sean los signos de las constantes, puede elegirse el punto (x0; y0) de formas especialmente sencillas. Tenemos asívarios casos:

i) De manera general, si c > 0, la cónica corta al eje y en los puntos: (x0; y0) = (0; ±√c). Tenemos entonces el cambio posible: y−√c = tx ⇒√ax2 + bx + c−√c = tx.
Alternativamentepodemos tomar: √ax2 + bx + c +√c = tx.

ii) Siempre que a sea positivo (la cónica sería una hipérbola), es posible realizar un cambio diferente: √(ax2 + bx + c) + x√a = t, que también convierte a laintegral en racional. Alternativamente también es válido el cambio: √(ax2 + bx + c)− x√a = t.

iii) Si a < 0, entonces el polinomio cuadrático debe tener necesariamente dos raíces reales (en casocontrario la integral no tendría sentido, pues el radicando seria siempre negativo). En este caso: ax2 +bx + c = a(x−r1)(x−r2). Podemos entonces tomar como punto de la cónica el (r1; 0) o bien el (r2; 0).Se tiene así: √(ax2 + bx + c) = t(x − r1) o bien √(ax2 + bx + c) = t(x − r2).

Ejemplo: (proceso a seguir).
Calculemos la siguiente integral:
I =∫(x +√(x2 − 2x + 4))/(1 + √(x2 − 2x + 4))dx...