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LA GEOMETRÍA ELEMENTAL DEL PLANO COMO SISTEMA AXIOMÁTICO

Recordamos que un sistema formal o lógico consta de:
• Términos indefinidos
• Definiciones
• Axiomas
• Teoremas

Revisaremos la Geometría Elemental como un ejemplo de sistema formal.

Los términos indefinidos de la Geometría Elemental son: Punto, recta y plano.

Se sabe que tanto la recta y como el planoson conjuntos de puntos.

Definición: Llamamos espacio al conjunto de todos los puntos. El espacio es el Conjunto Universal de esta teoría.

¿Qué es realmente un punto o una recta o un plano? Puesto que son términos indefinidos, no hay una definición para ellos, pero pueden caracterizarse mediante propiedades o relaciones entre ellos que deben cumplir y que se establecen en los axiomas.Denotamos la recta que pasa por los puntos A y B como AB.

Definición: Si tres o más puntos pertenecen a una recta se dice que están alineados o que son colineales.
Note que dos puntos son siempre colineales. ¿Por qué?














El axioma anterior permite establecer coordenadas en la recta y en el plano. Así mismo podemos hablar de la distancia entre dos puntos A y B quedenotamos por AB o también por d(A, B). La correspondencia mencionada induce en la recta una relación de orden. Esta relación de orden nos permite, para los puntos de una recta cualquiera, hablar de “estar entre”, “ser anterior” (preceder), o “seguir a“ y en particular se puede definir segmento de extremos A y B, así como semirrecta de origen A que contiene a B.

Definición: Se define elsegmento de extremos A y B como el conjunto de puntos entre A y B además de A y de B. Lo denotaremos AB. También se denomina segmento cerrado de extremos A y B.

AB = {P( AB / A ≤ P ≤ B}.

Aquí usamos el mismo símbolo del orden (≤) de los reales para indicar el orden en la recta. A y B son los extremos del segmento.

Podemos hablar también del segmento abierto: (A, B) = {P( AB / A < P Es el conjunto de puntos entre A y B. Note que A y B siguen siendo los extremos aun cuando no pertenezcan al segmento abierto. El segmento abierto no incluye a los extremos, mientras que el cerrado sí los incluye. Note que (A, B) = AB – {A, B} y AB = (A, B) ( {A, B}

Definición: Se llama longitud de un segmento a la distancia entre sus puntos extremos, pertenezcan éstos o no al segmento.Si el segmento tiene extremos A y B denotaremos su longitud por AB.

Note que de acuerdo a la definición anterior, el segmento abierto y el cerrado con los mismos extremos tienen la misma longitud. Además para nosotros segmento es sinónimo de segmento cerrado.

Definición: Se llaman segmentos congruentes aquellos que tienen la misma longitud.
Establecida la noción de distancia es posibledefinir circunferencia.

Definición: Se llama circunferencia de centro O y radio r (un número real positivo) al conjunto de los puntos P del plano cuya distancia al punto O es r.
{P( Π / PO = r} Π denota el plano

Observe que si en la definición anterior se omite la palabra plano y en consecuencia los puntos P pertenecen al espacio, entonces se obtendría una esfera. Mientras que siponemos {P( Π / PO ≤ r} obtenemos el círculo.

En una recta un punto A cualquiera, junto con el orden, determinan dos subconjuntos muy importantes: las semirrectas o rayos de origen A, que pueden ser abiertas o cerradas.

La semirrecta cerrada de origen A que contiene a B: Son todos los
puntos P de la recta AB que, en el orden de la recta, siguen a A.
(A, ( ) = {P( AB / A ≤ P}. También se denotapor AB

La semirrecta abierta de origen A que no contiene a B es el
conjunto de puntos de la recta que en el orden de la recta, preceden a A.
((, A( = {P( AB / P < A}.

La semirrecta cerrada también se llama rayo e incluye al punto A que es el origen del rayo o semirrecta. La semirrecta abierta no incluye al punto origen. Ambos conjuntos son complementarios en la recta.

Definición: Se...

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