Bachiller

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Capítulo 6 Algunas distribuciones continuas de probabilidad
f (x )

Capítulo 6

1
2

Algunas distribuciones continuas
de probabilidad
6.1 Distribución uniforme continua
Una de las distribuciones continuas más simples de la estadística es la distribución
uniforme continua. Esta distribución se caracteriza por una función de densidad que es
“plana”, por lo cual la probabilidades uniforme en un intervalo cerrado, digamos [A, B].
Aunque las aplicaciones de la distribución uniforme continua no son tan abundantes
como las de otras distribuciones que se presentan en este capítulo, es apropiado para el
principiante que comience esta introducción a las distribuciones continuas con la distribución uniforme.
Distribución La función de densidad de la variable aleatoriauniforme continua X en el intervalo
uniforme [A, B] es
f (x ; A, B ) =

1
B −A

0,

,

A ≤ x ≤ B,
en otro caso.

1
La función de densidad forma un rectángulo con base B – A y altura constante B − A .
Como resultado, la distribución uniforme a menudo se conoce como distribución rectangular. Sin embargo, observe que el intervalo no siempre es cerrado: [A, B]; también
puede ser (A, B). Enla figura 6.1 se muestra la función de densidad para una variable
aleatoria uniforme en el intervalo [1, 3].
Resulta sencillo calcular las probabilidades para la distribución uniforme debido a la
naturaleza simple de la función de densidad. Sin embargo, observe que la aplicación de
esta distribución se basa en el supuesto de que la probabilidad de caer en un intervalo
de longitud fija dentrode [A, B] es constante.

Ejemplo 6.1: Suponga que el tiempo máximo que se puede reservar una sala de conferencias grande
de cierta empresa son cuatro horas. Con mucha frecuencia tienen conferencias extensas
y breves. De hecho, se puede suponer que la duración X de una conferencia tiene
una distribución uniforme en el intervalo [0, 4].
171

0

1

3

x

Figura 6.1: Función dedensidad para una variable aleatoria en el intervalo [1, 3].
a) ¿Cuál es la función de densidad de probabilidad?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que cualquier conferencia determinada dure al menos
3 horas?
Solución: a) La función de densidad apropiada para la variable aleatoria X distribuida uniformemente en esta situación es
f (x ) =
b) P [X ≥ 3] =

4 1
3 4

1
4,

0,

0 ≤ x ≤ 4,
en otrocaso.

1
dx = 4 .

Teorema 6.1: La media y la varianza de la distribución uniforme son
µ=

A +B
(B − A ) 2
y σ2 =
.
2
12

Las demostraciones de los teoremas se dejan al lector. Véase el ejercicio 6.1 de la página 185.

6.2 Distribución normal
La distribución de probabilidad continua más importante en todo el campo de la estadística es la distribución normal. Su gráfica,denominada curva normal, es la curva con
forma de campana de la figura 6.2, la cual describe de manera aproximada muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la investigación. Por ejemplo, las
mediciones físicas en áreas como los experimentos meteorológicos, estudios de la precipitación pluvial y mediciones de partes fabricadas a menudo se explican más que adecuadamente con unadistribución normal. Además, los errores en las mediciones científicas
se aproximan muy bien mediante una distribución normal. En 1733, Abraham DeMoivre
desarrolló la ecuación matemática de la curva normal, la cual sentó las bases sobre
las que descansa gran parte de la teoría de la estadística inductiva. La distribución normal a menudo se denomina distribución gaussiana en honor de Karl FriedrichGauss
(1777-1855), quien también derivó su ecuación a partir de un estudio de errores en mediciones repetidas de la misma cantidad.

6.2 Distribución normal

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Capítulo 6 Algunas distribuciones continuas de probabilidad

σ1
σ

σ2
x

µ

Figura 6.4: Curvas normales con µ1 = µ2 y σ1 < σ2.

Una variable aleatoria continua X que tiene la distribución en forma de campana de...