bachiller

PROPIEDADES:
Sean , donde es un campo entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación binaria
Asociatividad

Demostración. Dada la definición de la operación binaria se sigue el resultado ya que debido a que para todo .
Conmutatividad

Demostración Dada la definición de la operación binaria se sigue el resultado ya que debido a que para todo .
Existencia del elementoneutro aditivo
Existe tal que

Demostración Tómese tal que para cualquier (dónde este último es el elemento neutro aditivo en el campo, el cual existe necesariamente). Entonces para cualquier se sigue que ya que para cualquier , dado que las entradas están en un campo.
Existencia del inverso aditivo
Existe tal que

a esta matriz se le denota por .
Demostración Dada tómese tal que . Entonces; luego, por las propiedades de campo donde es el inverso aditivo de en el campo para cualquier .

En efecto, éstas propiedades dependen el conjunto en el que estén las entradas, como se ha dicho antes, aunque en las aplicaciones generalmente los campos usados son (los números reales Con éstas propiedades se tiene que es un grupo abeliano.
En el caso en que el conjunto al que pertenecen lasentradas de la matriz sea un anillo , la operación de adición de matrices continúa dotando de estructura de grupo abeliano a , ya que bajo un anillo se tiene que es un grupo abeliano. En el caso de que las entradas estén en un grupo , éste necesita ser un grupo abeliano para que la adición de matrices siga dotando de estructura de grupo abeliano a .
) y (los números complejos).
Por como se definióla operación binaria adición se dice que ésta operación es una operación interna por lo que se cumple intrínsecamente la propiedad de que es cerrado bajo adición.
PRODUCTO POR UN ESCALAR :
Sean y . Se define la operación de producto por un escalar como una función tal que y donde en donde el producto es la operación binaria correspondiente pero en el campo . Por ejemplo, la entrada es igual alproducto .
Veamos un ejemplo más explícito. Sea y

También es inmediato observar que el producto por un escalar da como resultado una matriz del mismo tamaño que la original. También el producto por un escalar dependerá de la estructura algebraica en la que las entradas están. En el caso de que estén en un campo serán dos distributividades (una respecto de suma de matrices y otra respecto desuma en el campo), asociatividad y una propiedad concerniente al producto por el elemento neutro multiplicativo del campo. A continuación se presentan las propiedades.
Propiedades
Sean y , donde es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación producto por un escalar
Asociatividad

Demostración. Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya quedebido a que para todo .
PRODUCTO DE MATRICES:
El producto de matrices se define de una manera muy peculiar y hasta caprichosa cuando no se conoce su origen. El origen proviene del papel de las matrices como representaciones de aplicaciones lineales. Así el producto de matrices, como se define, proviene de la composición de aplicaciones lineales. En este contexto, el tamaño de la matriz correspondecon las dimensiones de los espacios vectoriales entre los cuales se establece la aplicación lineal. De ese modo el producto de matrices, representa la composición de aplicaciones lineales.
En efecto, en ciertas bases tenemos que se puede representar como donde es la representación de un vector de en la base que se ha elegido para en forma de vector columna. Si tenemos dos aplicaciones lineales yentonces y , luego la aplicación se representará como donde es el producto de las representaciones matriciales de . Nótese que la composición no se puede dar entre cualquier aplicación sino entre aplicaciones que vayan de , en particular debe de haber una relación entre las dimensiones de los espacios vectoriales. Una vez dicho ésto podemos definir el producto de la siguiente manera.
Sean y . Se...