Bachiller

Capítulo 1 Conjuntos
Todos tenemos una idea de lo que es un conjunto, cuando decimos, por ejemplo, el conjunto de animales del zoológico, el conjunto de las provincias argentinas, el conjunto de letras del abecedario. Con respecto a este término, no daremos una definición precisa. Sólo diremos que un conjunto es una colección de objetos que son los elementos del mismo. En términos matemáticos‘conjunto’ es un concepto primitivo, es decir algo que se acepta sin definición. Ejemplo 1 El conjunto de estudiantes de la ciudad de Salta, el conjunto de presidentes de la República Argentina. Notación: A los conjuntos se los denota con letras mayúsculas de imprenta, tales como A, B, C, . . . A los elementos se los denota con letras minúsculas, por ejemplo a, b, c, . . . Ejemplo 2 El conjunto de losdías de la semana cuyo nombre empieza con m consta de los elementos martes y miércoles.

1.1
1. Por extensión 2. Por comprensión.

Descripción de conjuntos

Hay dos formas de describir un conjunto:

Para describir un conjunto por extensión, se nombran a sus elementos y se los escriben entre llaves y separados por comas. Ejemplo 3 Sea A el conjunto formado por las vocales: A = {a, e, i, o,u} Ejemplo 4 Sea B el conjunto de los primeros seis números naturales B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Esta forma de escribir a un conjunto es cómoda, a veces, cuando el mismo tiene pocos elementos. No importa el orden en que se escriben los elementos; si sólo se cambia el orden, se obtiene el mismo conjunto. Además, a los elementos se los escribe una sola vez. Ejemplo 5 A = {a, e, i, o, u} es el mismoconjunto que el A = {o, i, u, e, a} y también que el A = {u, e, o, i, a, u, o}. En este curso estudiaremos los conjuntos numéricos. Estos conjuntos son tan importantes que se representan con símbolos especiales. En particular, el conjunto de los números naturales se representa con N, el conjunto de los números enteros con Z, el conjunto de los números racionales con Q, el conjunto de los números realescon R. Al conjunto N, se lo puede escribir como: N = {1, 2, 3, 4, . . .} El uso de los puntos suspensivos es ambiguo, aunque en este caso todos entendemos que se trata del conjunto de los números naturales. Haciendo abuso de notación, se dice que el conjunto está expresado por extensión. Para escribir un conjunto por comprensión, se da una propiedad que caracterice a sus elementos. Es decir: B ={x | p(x)} Se lee el conjunto B está formado por los elementos x del universo considerado que cumplen la propiedad p(x). La propiedad que se explicita debe ser tal que caracterice a esos elementos y solo a ellos. Ejemplo 6 El conjunto de los números naturales, expresado por comprensión, se escribe: N = {x | x es un número natural} Ejemplo 7 El conjunto de los números naturales comprendidos entrecinco y nueve: B = {x ∈ N | 5 < x < 9} A los conjuntos que tienen una cantidad finita de elementos, se los llama conjuntos finitos (como el dado en el último ejemplo); hay otros, en cambio, que tienen una cantidad infinita de elementos: son los conjuntos infinitos. 1

1.1.1 Cardinal de un conjunto Sea A un conjunto que posee n elementos distintos, siendo n un entero no negativo, o sea un conjuntofinito. El cardinal de A es el número de elementos de A y se denota con |A| . Ejemplo 8 Si A es el conjunto de los números pares menores que diez, el cardinal de A es |A| = 5 Observación: Existen muchos conjuntos que no son numéricos, es decir no están formados números. Ejemplo 9 Sea un conjunto de símbolos tales como ={a, b, c.d}. En este caso recibe el nombre de alfabeto. Al escribir concatenados(uno al lado del otro) los elementos de , producimos listas que reciben los nombres de palabras, cadenas o tiras. El conjunto de todas las palabras que pueden formarse a partir del alfabeto se indica
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Conjunto vacío El conjunto vacío es el que no tiene elementos. Es un conjunto finito. Notación: Al conjunto vacío se lo denota con {} o bien con el símbolo ∅. Ejemplo 10 ∅ = {x | x es...