Bachiller

Teoría de Números para Olímpiadas Matemáticas Dedicado al profesor Darío Durán, maestro de maestros.

José Heber Nieto Said
jhnieto@gmail.com www.jhnieto.org Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Universidad del Zulia Maracaibo, Venezuela

1.

Introducción

La Teoría de Números o Aritmética es la rama de la matemática que estudia todo lo relacionado con los números naturales yenteros. El hecho de que estos números se estudien desde los primeros años de la enseñanza escolar podría hacer pensar que se trata de un tema elemental y sin misterios. Pero no es así, por el contrario, la Aritmética encierra algunos de los problemas más difíciles de la matemática, algunos de los cuales permanecen o han permanecido abiertos durante siglos. En la teoría de números avanzada seutilizan toda clase de herramientas matemáticas, como por ejemplo la teoría de funciones de variable compleja. Sin embargo, aún limitándonos a las nociones más básicas y elementales, es posible generar una gama inagotable de problemas de todos los grados de dificultad posibles. Esta es la razón por la cual la Teoría de Números es uno de los temas infaltables y favoritos en todas las olimpiadasmatemáticas. Estas notas tratan de cubrir los conocimientos básicos necesarios para resolver problemas olímpicos de aritmética. No olvide sin embargo que lo esencial para convertirse en un buen solucionista es. . . ¡resolver muchos problemas!

Algunos problemas elementales
Veamos algunos ejemplos de problemas interesantes, para cuya solución no hace falta conocer más que la tabla de multiplicar. Tratede resolverlos usted mismo, y sólo si no lo logra después de un serio esfuerzo consulte las soluciones. Ejemplo 1. En una de sus clases el profesor Darío escribió en la pizarra el número 12345679012345679, y dijo que era mágico. —¡Profesor, olvidó el 8! — Bueno, sí, pero no importa, dejémoslo así. . . —Profesor, ¿y qué tiene de mágico ese número? —´Pues veamos, díganme una cifra del 1 al 9. —¡El7, el 7! — Multipliquen el número mágico por 63. Los alumnos lo hacen, y obtienen con asombro 777777777777777777. ¿Qué hubiese respondido Darío si los alumnos escogen el 3, o cualquier otra cifra? ¿Qué explicación tiene todo esto? Ejemplo 2. El producto de dos enteros consecutivos, ¿puede terminar en 8? Ejemplo 3. ¿En qué dígito termina 22011 ? Ejemplo 4. Juan tiene 5 tarjetas con el número 2, 8tarjetas con el número 3, 10 tarjetas con el número 7 y 20 tarjetas con el número 8, y las usa para formar números de varias cifras, colocándolas en fila. ¿Puede formar un número que sea un cuadrado perfecto? Ejemplo 5. Halle un número natural tal que, si su última cifra a la derecha se mueve al primer lugar de la izquierda, se obtiene un número doble del original. 2

Soluciones
1. El profesorDarío dividió 111111111111111111 entre 9 y así obtuvo el número mágico 12345679012345679. Para cualquier cifra x del 1 al 9, si el número mágico se multiplica por 9x el resultado será xxxxxxxxxxxxxxxxxx. 2. No. Como el último dígito de un producto sólo depende de los últimos dígitos de los factores, basta examinar los productos 1 × 2 = 2, 2 × 3 = 6,3 × 4 = 12, 4 × 5 = 20, 5 × 6 = 30, 6 × 7 = 42, 7 ×8 = 56, 8 × 9 = 72 y 9 × 0 = 0 para convencerse de que el producto de dos enteros consecutivos sólo puede terminar en 0, 2 ó 6. 3. Si se escriben Las primeras potencias de 2: 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32, 26 = 64, 27 = 128, 28 = 256, 29 = 512,. . . se observa que la última cifra se repite periódicamente: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6,. . . Esto es consecuencia de que el último dígito de unproducto sólo depende de los últimos dígitos de los factores, así la siguiente a cualquier potencia de 2 que termine en 2 terminará en 2 × 2 = 4, la siguiente a cualquiera que termine en 4 terminará en 4 × 2 = 8, la siguiente a cualquiera que termine en 8 terminará en 6 (pues 8 × 2 = 16 y la siguiente a cualquiera que termine en 4 terminará en 2 (pues 6 × 2 = 12. Como 2011 = 502 × 4 + 3, 22011...