bachiller

Métodos y técnicas de integración
(1º) Integración por sustitución o cambio de variable
En muchas ocasiones, cuando la integración directa no es tan obvia, es posible
resolver la integralsimplemente con hacer un cambio de variable adecuado; este
procedimiento se conoce como integración por sustitución o cambio de
variable.
Si
f (x)dx ,la Integración por sustitución consta de lossiguientes pasos :
1) Elegir o cambiar una nueva variable u : un cambio común es considerar u
como la función interna ,en términos de una composición de funciones
2) Calcular dx
dx
du
du =
3) Reemplace( o cambie) todos los términos en el integrando original por las
expresiones u y du
4) Evaluar los resultados de la integral en función de u. Si todavía no puede
evaluar la integral, es posibleque necesite probar o cambiar por una
opción diferente de u.
5) Reemplace cada expresión de u en la antiderivada por la correspondiente
expresión de x
Justificación del método de sustitución ocambio de variable:
El siguiente teorema puede ser usado para justificar el método de sustitución o
cambio de variable.
Teorema 1. Supongamos que:
h(u)du = H(u) + C Entonces, si g es una
funcióndiferenciable.

h[g(x)]g´(x)dx = H[g(x)]+ C
Demostración: Porque

h(u)du = H(u) + C
Se deduce que:
H´(u) = h(u)
Necesitamos mostrar que la derivada de H[g(x)] con respecto a x es el
integrandoh[g(x)]g´(x). Por la regla de la cadena
D H[g(x)] H´[g(x)].g´(x) h[g(x)].g´(x) x = =
Y la demostración estará completada.
Lcdo. Eliezer Montoya Integración por sustititución o cambio de variable
2Ahora supongamos que queremos evaluar
f (x)dx por el método de
sustitución. Según el paso 1º de nuestro procedimiento, cambiemos una porción
del integrando f(x) y la denominamos u = g(x) ; en elpaso 2 , procedes a
calcular el diferencial: dx g x dx
dx
du
du = = ´( ).
En el paso 3º, usamos la ecuación anterior para reescribir f(x) y dx en términos de
u y du
(3)
Donde h una función...