bachiller

Proporcionalidad
La proporcionalidad es una relación o razón constante y la razón constante
entre magnitudes medibles.

1

k = y/x

Símbolo

es llamada constante de proporcionalidad.

El símbolo matemático '∝' se utiliza para indicar que
dos valores son proporcionales. Por ejemplo, A ∝ B. En 2.1
Unicode el símbolo es U+221D.

Primer ejemplo

La receta de un pastel de vainillaindica que para cuatro personas se necesitan 200 g de harina, 150 g de
mantequilla, cuatro huevos y 120 g de azúcar. ¿Cómo
2 Proporcionalidad directa
adaptar la receta para cinco personas? Según varios estuDadas dos variables X e Y, Y es (directamente) propor- dios, la mayoría de la gente calcularía las cantidades para
cional a X (X e Y varían directamente, o X e Y están una persona (dividiendoentre cuatro) y luego las multien variación directa) si hay una constante k distinta de plicaría por el número real de personas, cinco, otras solo
le sumarían lo que a una persona le corresponde. Una micero tal que:
noría no siente la necesidad de pasar por las cantidades
unitarias (es decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por 5/4 = 1,25 (lo que equivale a añadir
y = kx.cinco huevos, 250 g de harina; 187,5 g de mantequilla y
150 g de azúcar).
La relación a menudo se denota
Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personas y se representa esta situación
a
c
mediante una tabla de proporcionalidad: coeficiente k no
nulo ( 45 en el ejemplo) tal que

c
d

y1 = k · x1 , y2 = k · x2

...

yn = k · xn

a

c

a
bad

d

b

b

d

d

a

c

d
c

bc

b

b
a

ad

bc

Los dos rectángulos con franjas son semejantes, los cocientes de
sus dimensiones se indican horizontalmente en la imagen. La duplicación de la escala del triángulo con franjas se indica oblicuamente en la imagen.

recta que pasa por el origen de coordenadas

Si se consideran x1 , x2 ...xn e y1 , y2 ...yn comovalores
de variables x e y , entonces se dice que estas variables
son proporcionales; la igualdad y = k·x significa que y es
una Función lineal de x.

y∝x
1

2

2 PROPORCIONALIDAD DIRECTA

La representación gráfica de esta función es una recta que
pasa por el origen del sistema de coordenadas. Una variación (incremento o decremento) de x da lugar a una variación proporcional de y (yrecíprocamente, puesto que
k≠0: y = 1/k · x):

En la proporción hay cuatro términos; a y d se llaman
extremos; c y b se llaman medios.
En toda proporción el producto de los extremos es igual al
producto de los medios.
Para establecer que una tabla es proporcional, se puede:

∆y = k · ∆x
Son las funciones más sencillas que existen y las primeras
que se estudian en clase de matemáticas, conalumnos de
trece años aproximadamente.
La relación «Ser proporcional a» es

1. verificar que la segunda columna es múltiple de la
primera, (primera tabla: para pasar de la primera casilla a la segunda, hay que multiplicar por ab ; en la
segunda línea se tiene que multiplicar por dc , luego estas fracciones deben ser iguales para obtener
columnas proporcionales)

• reflexiva ( toda variable esproporcional a sí misma,
con el coeficiente 1)

2. verificar que la segunda línea es múltiple de la primera (segunda tabla, con un raciocinio parecido) o

• simétrica (cuando y es proporcional a x entonces x
lo es a y, con el coeficiente inverso) y

3. verificar la igualdad de los productos cruzados: a·d
= b·c. (tercera tabla: las igualdades anteriores equivalen a a·d = b·c, cuando no hayvalores nulos, que
por cierto no tienen un gran interés en este contexto). ya que no se puede comprobar el numero

• transitiva (si x es proporcional a y, e y a z, entonces
x lo es con z, multiplicando los coeficientes)

por lo que se trata de una relación de equivalencia. En
particular dos variables proporcionales a una tercera serán 2.2 Segundo y penúltimo ejemplo
proporcionales entre sí)....