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La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamentaldel cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.
Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Considérese una piscina. Si es rectangular y de profundidad uniforme, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (paracubrirla), y la longitud de su borde (si se requiere saber su medida). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, las cantidades anteriores no son sencillas de calcular. Una posibilidad es calcularlas mediante integrales.
Integrales en la Física
Muchas leyes de la Física se expresan en forma de ecuaciones diferenciales. En el caso más sencillo, estas ecuaciones diferenciales se resuelven con elcálculo de una primitiva y muchas veces el resultado final que se busca se encuentra con el cálculo de una integral.
Por ejemplo, la integral se aplica para resolver el problema de la caída libre de un cuerpo sometido a la gravedad de la tierra. En la Tierra, la aceleración de la gravedad es aproximadamente g = 9,81 m/s². Por lo tanto un cuerpo que cae libremente empezando su caída con velocidad nulatiene una velocidad que viene dada por la siguiente función:


El signo negativo es debido a que la gravedad es hacia el centro de la tierra y los sistemas de referencia normalmente se eligen de forma que la dirección positiva es hacia arriba.
Si se quiere saber la distancia que ha recorrido el cuerpo durante un tiempo dado T se puede razonar (empleando análisis no estándar) que en torno a cadainstante t la velocidad es constante salvo variaciones infinitesimales, por lo tanto el espacio recorrido en este instante durante un periodo de tiempo infinitesimal dt es v(t)dt, la suma de todos los espacios recorridos durante todos los instantes desde t=0 hasta t=T (el momento en que se quiere saber la distancia recorrida) y se calcula con la integral:
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El resultado de esta integral es:Otros ejemplos de campos de la física donde se aplican las integrales:
La energía consumida en un periodo de tiempo es la integral de la potencia durante el tiempo.
La variación de la carga eléctrica en un condensador durante un periodo de tiempo es la integral de la corriente eléctrica que fluye hacia el condensador durante este tiempo.
La integración del caudal (metros cúbicos por segundo) quefluye por un conducto proporciona el volumen de fluido que ha pasado por el conducto durante el periodo de integración.
Integrales en la Medicina y Ciencias Biológicas
A través del calculo y de las ecuaciones diferenciales que se resuelven con las integrales, puedes plantear cosas como la velocidad de propagación de una enfermedad, la velocidad de reacción de un medicamento, la taza decrecimiento poblacional de bacterias, la concentración en determinado tiempo de una mezcla que se esta agitando, el enfriamiento que tiene un cadáver y así determinar la hora del fallecimiento, en biología los crecimientos poblacionales, las propagaciones de áreas de las poblaciones los flujos de ríos, gastos hidráulicos, en medicina las fuerzas de los huesos, tensiones, presiones, en óptica son muyusadas también, en bioquímica las determinaciones de los enlaces se hacen por espectros que basan sus áreas bajo las curvas para determinar los enlaces, la química cuántica esta basada en el calculo, entre otros.
Integrales en Ingeniería Industrial
Aunque no se de algunos modelos estocásticos para los cuales es indispensable la formulación de integrales trata de una herramienta de uso cotidiano...