Bachiller

Gu´ de L´
ıa
ımites, Continuidad y Derivaci´n - Matem´tica B´sica
o
a
a
Profesor: Juan Mayorga Zambrano, PhD

Introducci´n
o
Potencia de una Matriz. Dada una matriz cuadrada A ∈ Mn se definen las matrices A2 y A3 como A2 = A · A
y A3 = A · A2 , respectivamente. En general, dado r ∈ N, se tiene que
Ar+1 = A · Ar = Ar · A.
Propiedad Asociativa. Dadas tres matrices A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×r yC ∈ Mr×l se tiene que
A(BC ) = (AB )C.
Norma de una matriz. Dada una matriz A = (aij ) ∈ Mm×n se define su norma ||A|| mediante
||A|| = m´x {|aij |/ i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n} .
a
−9 1 3
, se tiene que B = 9.
4 −1 0
M´todo de resoluci´n de Gauss-Jordan. Considere el sistema de n ecuaciones con n inc´gnitas
e
o
o

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 ;



a21 x1 + a22x2 + ... + a2n xn = b2 ;
..
.
..
.


..
.



an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn

Entonces, por ejemplo, si B =

Recuerde que el m´todo de b´squeda de soluciones de Gauss - Jordan
e
u

a11 a12 . . . a1n |
 a21 a22 . . . a2n |

(A|b) =  .
.
.
.
.
.
.
.
.
|
an1 an2 . . . ann |

(1)

consiste en transformar la matriz

b1
b2 

.
.
.
bn

enuna matriz escalonada reducida por filas.
Inversibilidad y determinantes. Sea A ∈ Mn una matriz cuadrada. Entonces, A es inversible si y s´lo si
o
det(A) = 0.
Determinante de un producto. Sean A, B ∈ Mn , entonces se tiene que
det(A · B ) = det(A) · det(B ).
De esto se deduce que
det(A · B ) = det(B · A);
y, para todo m ∈ N, se cumple

det(Am ) = det

m

(A).

Inversibilidad ydeterminantes. Sea A ∈ Mn una matriz cuadrada. Se tiene que
1. La matriz A es inversible cuando y s´lo cuando det(A) = 0.
o

1

2. Si A es inversible, entonces
det(A−1 ) =

1
.
det(A)

Sistemas de Ecuaciones. Considere el sistema de m ecuaciones con n inc´gnitas
o

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 ;



a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 ;
..
.
..
.


..
.


am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm

(E)

que matricialmente se escribe como
A x = b,
donde
A = (aij ) ∈ Mm×n es la matriz formada por los coeficientes del sistema;
x ∈ Rn es el vector de inc´gnitas;
o
b ∈ Rm es el vector de t´rminos independientes.
e
Se denomina conjunto soluci´n del sistema (E) al conjunto
o
CSE = {x ∈ Rn : x es soluci´n de (E)}.
o
El conjunto soluci´n puedeser el conjunto vac´ un conjunto unitario o un conjunto infinito.
o
ıo,
Al sistema (E) se le denomina homog´neo si b = 0; caso contrario se dice que (E) es un sistema no-homog´neo.
e
e
Teorema 0.1. Sea A ∈ Mm×n , con m < n. Entonces el sistema homog´neo
e
Ax = 0
tiene infinitas soluciones.
Se dice que dos sistemas de ecuaciones
A1 x = b;

(E1 )

A2 x = b

(E2 )

son equivalentes siCSE1 = CSE2 .

Teorema 0.2. Los sistemas de ecuaciones (E1 ) y (E2 ) son equivalentes si y s´lo si las matrices A1 y A2 son
o
equivalentes.

Teorema 0.3. Sea A ∈ Mn . Entonces el sistema
Ax = b
tiene una unica soluci´n si y s´lo si A es inversible.
´
o
o

2

Problemas / Ejercicios
1. Considere las siguientes matrices


−2
A= 3
2


25
1 5 ;
35



−2/9
B = −1/9
7/45

1/9
−4/9
2/9


1/9
5/9  ;
−8/45



−1
C= 5
0


4
2 ;
7



1
0

D=
1
0

−2
1
−4
2


−3
3
.
1
3

a ) C´lcule la matriz A4 .
a
b ) Muestre que la matriz A es la inversa de la matriz B.


x1
 x2 


c ) Sea x =  .  ∈ R3 . Considere el sistema de ecuaciones
.
.
xd
Ax = b.
Resuelva el sistema si



−3
b =  4;
1




0
b =  1 ;
2




5
b =  0 ;
7




2b1 + b2
.
b2
b=
b3 − b2

Sugerencia.- Puede usar el literal b).
d ) Calcule las matriz (DA3 )(A2 C ).
Sugerencia.- Puede usar el literal a) en combinaci´n con la Propiedad Asociativa de la Multiplicaci´n
o
o
de matrices.
e ) Usando un sistema computacional un estudiante busc´ la matriz R = (Dt D)−1 y obtuvo...