Bachiller

Cálculo del límite en un puntoo
Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular  porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puedetomar valores que se acerquen a -2.
Sin embargo si podemos calcular , aunque 3 no pertenezca al dominio, D=  − {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

Cálculo del límite en una función definida a trozos
En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.
Si coinciden, este es el valor del límite.
Si nocoinciden, el límite no existe.
.
En x = −1, los límites laterales son:
Por la izquierda:
Por la derecha:
Como en ambos casos coinciden, existe el límite y vale 1.
En x = 1, los límites laterales son:
Por la izquierda:
Por la derecha:
Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.
Límite de funciones. Cálculo
Propiedades.
Sean dos funciones f(x) y g(x), para las queexiste límite en un punto o en el infinito. Entonces:

En general calcular el límite de una función "normal", cuando x tiende a un número real, es fácil, basta aplicar las reglas de cálculo indicadas, sustituyendo la variable independiente por el valor real al que la x tiende.
No obstante, en ocasiones, nos podemos encontrar con sorpresas, por ejemplo, que la función no esté definida para elvalor en el que queremos calcular el límite . Esta situación, es habitual, cuando el límite lo queremos calcular cuando x tiende a infinito.
Una función no está definida en un punto, siempre que al intentar calcularla en ese punto, resulte alguna de las formas siguientes:

En cada caso, el límite en el punto en que la función no está determinada, dependerá de los valores que la función tome, enlas proximidades de dicho punto.
Veamos como tratar cada una de estas indeterminaciones. Los métodos que se indican sirven de guía en casos parecidos.

La función no está determinada para x = 1, la razón es que el denominador se hace 0. Este tipo de indeterminaciones ocurre, cuando en el numerador y el denominador de la función, existe algún factor que se hace 0, este factor suele ser del tipo: x - valor para el que queremos calcular el límite. Si logramos eliminar, este factor del numerador y del denominador, se obtiene otra función , que toma los mismos valores en todos los puntos que no sean el punto en cuestión.
En este caso concreto, el punto es : x = 1.
La nueva función permite obtener los valores en las proximidades del punto de la indeterminación, que son los que permitencalcular el límite. En el caso concreto que nos ocupa, sería:

Cuando x crece indefinidamente, esta función es un cociente de dos cantidades que crecen indefinidamente. Se puede plantear la duda, de que si al crecer x indefinidamente, también lo hará :

puesto que sería la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, que es una indeterminación. Sacando factor común se transforma estaexpresión en otra equivalente:

que crece indefinidamente, puesto que una cantidad que crece indefinidamente sigue creciendo indefinidamente aunque le restemos una cantidad constante y el producto de dos cantidades que crecen indefinidamente, también crece indefinidamente. Lo mismo ocurre con el denominador.
Como, al dividir numerador y denominador por una misma cantidad, distinta de 0, el valorde la fracción no cambia, sigue que:

Esta propiedad nos permite resolver este tipo de indeterminaciones. Se divide numerador y denominador por x, elevado al mayor de los expontentes con los que aparece en la función :

Hay un caso trivial, que ya hemos visto, sea:

Es la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, pero como :

Y a una cantidad que crece indefinidamente, le...