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Casquete esférico |

3.13 Casquete esféricoEs el sólido que se genera al rotar un segmento circular (con flecha mayor o menor que su radio), media vuelta alrededor de su flecha tomada como eje de rotación. Área superficial. Su superficie está dada por una parte esférica y un círculo. Por tanto, su área superficial está dada por la expresiónUsando la relación, a2 = 2Rh - h2 despejando 2Rh ysustituyendo en la ecuación anterior obtenemos,Despejando a de a2 = 2Rh - h2 sustituyendo y simplificando obtenemos,Volumen. Su volumen se puede obtener partiendo de la relación.                         V = Volumen de un sector esférico - volumen de un cono              <!--[if !vml]--><!--[endif]-->Por lo que,                         <!--[if !vml]--><!--[endif]--> Usando larelación a2 = 2Rh - h2 y simplificando podemos obtener las relaciones, |

Cono truncado |

3.6 Cono truncadoSe puede considerar como el sólido que queda al cortar a un cono, perpendicular a su eje, su  “punta”. Se le llama cono truncado. Área lateral. Es el área de la región generada por su generatriz,La deducción de esta relación se pospone como problema al lector.Área superficial. Es lasuma de las áreas de las dos bases circulares y de su área lateral,Volumen. Está dado por,Notemos que tanto el área lateral, el área superficial y el volumen del cono truncado se pueden considerar como funciones de tres variables, y ellas se reducen a las relaciones correspondientes del cono cuando r = 0.El problema de la cubeta. Una cubeta tiene la forma de un cono truncado con radios de 14 y 28cm, y altura de 28 cm. Se vierte agua a dicha cubeta la cual estaba inicialmente vacía. Investiguemos cómo cambia el área de la superficie del nivel del agua al ir subiendo dicho nivel,Solución. La superficie del agua adopta la forma de un círculo. Denotemos con r su radio y A su área. De modo que A(r) = r2, 14 r 28. Usando esta relación, si queremos expresar A en función de h, debemos expresar ren función de h y sustituir en A(r). La ecuación que relaciona r con h se construye a partir de un dibujo en corte axial del correspondiente dibujo en perspectiva. En él podemos formar triángulos semejantes. Hemos introducido la variable auxiliar t que se puede relacionar con r a través de R = 14+t. De la semejanza de triángulos formamos la relación t/14 = h/28. Eliminando la variable auxiliar t deestas dos ecuaciones y simplificando tenemos que r = (h + 28)/2. Sustituyendo esta última expresión en A(r), observamos que el área de la superficie del agua crece de manera cuadrática con la altura,Esta función nos informa que el área de la superficie crece más rápidamente a mayor altura, así como también nos proporciona el área de la superficie para una altura dada. Dejamos al lector lagraficación de dicha función. |

Área lateral de un cono truncado

Área de un cono truncado

Volumen de un cono truncado


alcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono de radios 12 y 10 cm, y de generatriz 15 cm.




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V= (pi*h / 3)( R^2 + r^2 + (R * r) )

donde
h = altura
R = radio superior
r = radioinferior

Para integrar

C es un cono que está truncado paralelamente con una altura h, y un radio superior R y un radio inferior r.
Ponlo en un plano coordenado, con el centro inferior en (0,0,0), y el centro de arriba (0,0,h).

Viéndolo de un lado puedes ver en el plano x-z como un trapezoide con un lado empezando en (r,0,0) y terminando en (R,0,h).

Como cualquier línea no verticalpuede escribirse en la forma de z= Ax+ B. debes tener 0= r*A+ B and h= R*A+ B. Substrayendo la primera de la segunda, h= (R - r)A entonces A= h/(R - r), B= -r * A entonces B = -r * h /(R - r).

La ecuación de la línea es z= h (x- r)/(R -r) o puedes escribirla como x= (R - r) z /h+ r.

Ahora imagina el cono entero divido en muchos discos muy delgados, cada uno con espesos dz y el radio , x= (R -...