Bachiller

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ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIER´
IA
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INFORMATICA
INGENIER´ TECNICA EN
IA ´
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INFORMATICA DE GESTION

Apuntes de

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ALGEBRA LINEAL

por
Fco. Javier Cobos Gavala
Amparo Osuna Lucena
Rafael Robles Arias
Beatriz Silva Gallardo

Contenido

1 Matrices y determinantes

1

1.1

Notaci´n y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

1

1.2Aritm´tica de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

3

1.2.1

Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.2

Producto por un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.3

Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.4

Trasposici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

5

1.2.5

Otrasdefiniciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Transformaciones elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.1

Transformaciones elementales fila. . . . . . . . . . . . .

6

1.3.2

Transformaciones elementales columna. . . . . . . . . .

8

1.4

Algoritmo de Gauss-Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5

Determinante de una matrizcuadrada. . . . . . . . . . . . . .

14

1.5.1

Definiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.5.2

Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.6

Factorizaci´n triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

17

1.7

Inversa de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.7.1

C´lculo de la matrizinversa. . . . . . . . . . . . . . . .
a

20

Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.3

1.8

2 Sistemas de ecuaciones lineales. Espacios vectoriales.
2.1

Notaci´n y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
i

25
26

ii

Contenido
2.2

M´todo de eliminaci´n gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . .
e
o

28

2.2.1Sistemas de ecuaciones lineales homog´neos . . . . . .
e

32

2.3

Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.4

Dependencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.4.1

Espacios vectoriales de tipo finito . . . . . . . . . . . .

40

2.4.2

Bases de un espacio vectorial

..............

41

2.4.3

Rango deun conjunto de vectores . . . . . . . . . . . .

45

2.4.4

Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.5.1

Caracterizaci´n de los subespacios vectoriales . . . . .
o

49

2.5.2

Variedad engendrada por un conjunto finito de vectores

50

Operaciones con variedades lineales . .. . . . . . . . . . . . .

51

2.6.1

Intersecci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

51

2.6.2

Uni´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

51

2.6.3

Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.6.4

Suma directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Ecuaciones de los subespacios. . . . . . . . .. . . . . . . . . .

54

2.7.1

Ecuaciones del subespacio suma . . . . . . . . . . . . .

56

2.7.2

Ecuaciones del subespacio intersecci´n . . . . . . . . .
o

57

2.8

Propiedades de los espacios vectoriales de tipo finito. . . . . .

60

2.9

Cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

2.10 Espacios fundamentales asociados a una matriz. .. . . . . . .

64

2.10.1 Espacio fila de A: [R(At )]. . . . . . . . . . . . . . . . .

65

2.10.2 Espacio nulo de A: [N (A)]. . . . . . . . . . . . . . . .

65

2.10.3 Espacio columna de A. [R(A)]. . . . . . . . . . . . . .

66

2.11 Teorema de Rouche-Fr¨benius . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

67

2.12 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....