Bachillerato

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES
1. Determinar si cada una de las siguientes igualdades es una ecuación o una identidad:
a) (x - 2)2 = x2 - 4x + 4

b) (x - 3) (x + 3) = x2 – 9+ 6x

c) (x - 3)2 + 5 = x - 4

Solución
a) Es una identidad, ya que es el desarrollo del cuadrado de la diferencia entre x y 2, verificándose,
en consecuencia, para cualquier valor de la incógnita.
b) Es una ecuación y no una identidad ya que la igualdad no se verifica para todos los valores de x;
por ejemplo, no se cumple para x = 1.
c) Es una ecuación y no una identidad ya que por ejemplo x = 0no verifica la igualdad.

2. Indicar si en los siguientes razonamientos hay algún error.
⎧
⎪x = 0
a) x2 + 4x = 0 ⇒ x(x + 4) = 0 ⇒ ⎨
⎪
⎩x + 4 = 0 ⇒ x = -4
⎧
⎪x = 4
b) x2 – 3x - 4 = 0 ⇒ x2 – 3x = 4 ⇒ x (x - 3) = 4 ⇒ ⎨
⎪
⎩x - 3 = 4 ⇒ x = 7

Solución
a) El razonamiento es correcto. Observar que la segunda implicación se basa en la siguiente
propiedad: “Un producto es cero cuando alguno de susfactores es igual a cero”.
b) Hay un error en la tercera implicación, ya que para que el producto de dos factores sea 4 no es
necesario que uno de ellos sea 4.

3. Resolver las siguientes ecuaciones polinómicas:
a) 5x + 4 = 13 + 2x

b ) ( x + 1) 2 - x = x 2 + x - 4

d) 8x2 + 25 = (x + 5)2

c) 4x2 - 13x - 12 = 0

e) 3x2 + 5x + 4 = 0

Solución
a) Pasando todos los términos a un lado se obtiene la ecuaciónequivalente, 3x – 9 = 0, cuya
9
solución, sin más que despejar la incógnita, es x = = 3.
3
Por tanto, la única solución de la ecuación dada es x = 3.
b) Desarrollando el cuadrado del primer miembro queda, x2 + 2x + 1 – x = x2 + x - 4, y pasando
todos los términos al primer miembro se obtiene, 5 = 0, que es un absurdo.
Por tanto, la ecuación dada no tiene solución.
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CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

c) Aplicando la fórmula que permite obtener las soluciones de una ecuación de segundo grado, se
⎧4
⎪
13 ± (-13)2 - 4.4.(-12)
13 ± 169 + 192
13 ± 361
13 ± 19
tiene x =
==
=
= ⎨-3
8
2.4
8
8
⎪4
⎩
-3
Por tanto, las soluciones son x = 4 y x = .
4
d) Desarrollando el cuadrado del segundo miembro queda, 8x2 + 25 = x2 + 10x + 25, y pasando
todos los términos al primer miembro se obtiene la ecuación equivalente, 7x2 – 10x = 0.
Sacando factor común la x queda, x(7x – 10) = 0, y teniendo en cuenta que para que el producto
de dos factores sea 0 basta que lo sea uno deellos, se obtiene que o bien x = 0 o bien 7x – 10 = 0,
10
.
de donde, x =
7
10
.
Por tanto, las soluciones de la ecuación son x = 0 y x =
7
e) Aplicando la fórmula que permite obtener las soluciones de una ecuación de segundo grado, se
-5 ± -23
-5 ± 52 - 4.3.4
=
.
tiene x =
2.3
6
Al ser el discrimínate negativo, se concluye que la ecuación no tiene soluciones.

4. Resolver las siguientes ecuacionespolinómicas bicuadradas:
a ) x4 – 4 = 0

b) 2x4 + 3x2 + 2 = 0

Solución
a) Haciendo t = x2 se obtiene la ecuación polinómica de segundo grado, t2 - 4 = 0.
Despejando t2 queda, t2 = 4, de donde, t = ± 4 = ±2.
Así:
•

t = -2

⇒ x2 = -2, ecuación que no tiene solución

• t = 2 ⇒ x2 = 2 ⇒ x = ± 2
Por tanto, las soluciones de la ecuación inicial son únicamente x = - 2 y x =

2.

b) Haciendo t = x2 seobtiene la ecuación polinómica de segundo grado, 2t2 + 3t + 2 = 0, que no
tiene solución puesto que su discriminante es negativo, 32 - 4.2.2 = -7 < 0.
Por tanto, la ecuación inicial no tiene solución.

5. Resolver las siguientes ecuaciones polinómicas:
a) x3 + x2 - 4x - 4 = 0

b) 2x4 – x3 - 3x2 = 0

Solución
a) El polinomio x3 + x2 - 4x - 4 tiene como raíz x = -1 ya que (-1)3 + (-1)2 – 4(-1) – 4 =...